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Exercícios Resolvidos de Propriedades das Integrais

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Enunciado

  1. A integral definida ∫ 2 5 1 x 3 + 1 d x é representada pelo limite:
  1. l i m n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n 1 2 + i n 3 + 1
  2. l i m n → + ∞ 3 n ∑ i = 1 n 1 2 + 3 i n 3 + 1
  3. l i m n → + ∞ 2 n 2 ∑ i = 1 n 1 2 + 2 i n 3 + 1
  4. l i m n → + ∞ 3 n 2 ∑ i = 1 n 1 2 + 3 i n 3 + 1

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Essa questão pode assustar um pouco, mas ela é uma questão de aplicação direta de fórmula.

O problema nos forneceu a seguinte integral e pediu para representarmos na forma de limite. Então o que temos que fazer é aplicar a seguinte igualdade:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ b - a n ∑ i = 1 n f x i ,   c o m   x i = a + i b - a n ⁡

Lembrando que essa igualdade é valida para casos em que a função seja contínua naquele intervalo.

Agora é identificarmos as variáveis para resolver a questão!

Passo 2

Essa é integral que nos foi dada

∫ 2 5 1 x 3 + 1 d x

Repara que estamos integrando uma função que é contínua neste intervalo, uma vez que não temos restrições na função (ou seja, o número dentro da raíz sempre será positivo, pois o intervalo é positivo).

Agora vamos aplicar a fórmula!

Passo 3

Olhando para integral, temos que

a = 2

b = 5

Logo,

∫ 2 5 1 x 3 + 1 d x = lim n → ∞ ⁡ 5 - 2 n ∑ i = 1 n 1 x i 3 + 1

Lembrando que

  x i = a + i b - a n = 2 + i 5 - 2 n ⁡

Com isso, ficamos com,

∫ 2 5 1 x 3 + 1 d x = lim n → ∞ ⁡ 3 n ∑ i = 1 n 1 2 + i 3 n 3 + 1

Opaaa! A resposta é a letra B.

Resposta

Letra B

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