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Exercícios Resolvidos de Propriedades das Integrais

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Enunciado

Lista de exercícios 9 – Universidade de Brasília– questão 14

Dado b > 0 , considere a função f x = ln ⁡ x b , definida para x > 0 .

  1. Verifique a derivada de f coincide com a derivada de g x = ln ⁡ x , no intervalo I = o , + ∞
  2. Usando o item acima e o exercício anterior, conclua que f x = g x + C , para alfuma C ∈ R . Em seguida, faça x = b nestaa igualdade para calcular o valor da constante C
  3. Conclua que

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Dado que f ' x = g ' x ,vamos derivar ambas e ver se é verdade. Bora?!

Primeiro f(x):

f x = ln ⁡ x b

Façamos u = x b

f ' x = d d u ln ⁡ u * d u d x

f ' x = 1 u 1 b

f ' x = 1 x b * 1 b = 1 x

E para g(x):

g x = ln ⁡ x

g x ' = ln ⁡ x '

g ' x = 1 x

Vemos que f ' x = g ' x

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para o item b)

Se f x = g x + C , então:

f x = ∫ g ' x

Sabemos que g ' x = 1 x

f x = ∫ 1 x d x

f x = ln ⁡ x + C

Mas g x = l n ⁡ ( x )

f x = g x + C

ln ⁡ x b = ln ⁡ x + C

Colocando x = b

ln ⁡ 1 = ln ⁡ b + C

0 = ln ⁡ b + C

C = - l n ⁡ ( b )

Passo 3

No passo provamos que:

ln ⁡ x b = ln ⁡ x - ln ⁡ b

Se trocarmos x=a como pedido no exercício, temos:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Resposta

  1. a resolução está no passo 1
  2. a resolução está no passo 2
  3. a resolução está no passo 3

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