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Exercícios Resolvidos de Propriedades das Integrais

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Enunciado

UNB-Calculo1 – Listas de aplicação em cálculo 1 - Lista 10 – 2020.2

Seja f   :   [ a ,   b ]   → R uma função contínua e defina:

g x = ∫ a x f t d t

  1. Para x   ∈   ( a ,   b ) e h   >   0 pequeno, use as propriedades da integral e o Teorema da

    2. Média para verificar que

    g x + h - g ( x ) h = 1 h ∫ x x + h f t d t = f ( c h )

    para algum c h   ∈   [ x ,   x   +   h ] .

  2. Usando o item anterior e a continuidade de f, mostre que

    3. g x + h - g ( x ) h = f ( x )  

  3. Repita o argumento acima para h   <   0 , e conclua que a função g ’ e derivável e

    4. g ' x = f x       ∀ x   ∈     ( a , b )

  4. Supondo agora que F é uma primitiva qualquer de f, mostre que

∫ a b f x = F b - F ( a )

Passo 1

Olá galerinha do Responde Ai, está tudo ok?

Aqui temos uma questão de introdução aos conceitos da terrível integral.

Respirou?

Podemos continuar?

hahahha

Relaxa, precisa ficar tristinho não. Aqui temos uma questão puramente dedutiva, algo mais abstrato, não é muito comum ver esse tipo de coisa em prova não.

Todos os conceitos que precisaremos está escrito no enunciado da questão, fora isso só vamos precisar de algumas propriedades das integrais. Mas falaremos nos passos futuros quais são. Porém, são meio abstratos de falar, fica melhor ir fazendo as continhas e utilizando na hora que precisa deles.

Enfim, vamos colocar a mão na massa? Assim esses conceitos vão ficar mais concretos.

Bem, vamos lá. É você que manda.

Passo 2

Primeiramente, para resolver a primeira alternativa vamos utilizar a seguinte informação:

g x = ∫ a x f t d t

Consequentemente:

g x + h = ∫ a x + h f t d t

Sendo assim, vamos calcular a seguinte expressão da alternativa a ) :

g x + h - g x h

Agora vamos substituir a expressão da g na expressão e ver como é que fica as coisas.

∫ a x + h f t d t - ∫ a x f t d t h

Agora vamos utilizar a seguinte propriedade da integral:

∫ a x f t d t = - ∫ x a f t d t

Consequentemente, temos que:

∫ a x + h f t d t - ∫ a x f t d t h = ∫ a x + h f t d t + ∫ x a f t d t h

Agora vamos utilizar essa outra propriedade muito legal de integrais:

∫ x a f t d t + ∫ a x + h f t d t = ∫ x x + h f t d t

Gerando assim:

g x + h - g x h = ∫ a x + h f t d t - ∫ a x f t d t h = ∫ a x + h f t d t + ∫ x a f t d t h = ∫ x x + h f t d t h

O teorema do valor médio temos que:

∫ a b f x d x = f ( c ) ( b - a )  

Portanto nossa integral se torna:

g x + h - g x h = ∫ x x + h f t d t h = f ( c ) ( x + h - x ) h = f ( c )

Com c ∈ ( x , x + h ) devido ao teorema do valor médio.

Passo 3

A alternativa b ) pede para provar a seguinte expressão:

g x + h - g ( x ) h = f ( x )  

Aproveitando de resultados obtidos na alternativa anterior, temos que:

g x + h - g ( x ) h =   ∫ x x + h f t d t h  

Nós temos a seguinte propriedade de integração:

∫ a a f x d x = 0

Portanto, temos que o limite apresenta a seguinte característica 0 0 , ou seja, podemos aplicar l’hospital.

∫ x x + h f t d t h   = d d h ∫ x x + h f t d t d d h h  

Partindo do teorema fundamental do cálculo, temos que:

∫ a b f x d x = F a - F ( b )

Derivando a expressão:

d d u ∫ a b f x d x = d d u F a - d d u F ( b )

Aplicando a regra da cadeia, temos que:

d d u ∫ a b f x d x = d d a F a   d a d u - d d b F b   d b d u

Portanto nossa integral, se torna:

d d h ∫ x x + h f t d t = F ' x + h   d d h x + h - F ' x   d d h x = F ' x + h

Só que F é primitiva de f , portanto, F ' = f . Substituindo tudo na expressão:

∫ x x + h f t d t h   = d d h ∫ x x + h f t d t d d h h   = f ( x + h ) 1 = f ( x )  

Passo 4

Para a realização da alternativa c ) precisamos calcular o seguinte limite:

g x + h - g ( x ) h = f ( x )  

Pois, h se aproxima de 0 com valores menores do que 0, ou seja, se aproxima pela esquerda.

Porém, esse limite é igual ao anterior e iremos utilizar o mesmo passo a passo. Portanto temos que:

g x + h - g ( x ) h =   ∫ x x + h f t d t h  

Que consequentemente, geramos a seguinte igualdade:

∫ x x + h f t d t h   = d d h ∫ x x + h f t d t d d h h   = f ( x + h ) 1 = f ( x )  

Portanto, temos que:

g x + h - g ( x ) h =   g x + h - g ( x ) h   = g x + h - g ( x ) h  

Provando que os limites laterais existem, concluindo que a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Para resolver a alternativa d ) a questão nos permite supor que F é uma primitiva de f . Sendo isso uma verdade, temos que:

d F d x = f

Agora substituindo isto na integral, temos que:

∫ a b f x d x = ∫ a b d F d x d x

Tratando o d x como uma unidade diferencial, temos que:

∫ a b f x d x = ∫ a b d F d x d x = ∫ a b d F = F b - F ( a )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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