UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Prof° Ricardo Martins - Listas sobre Integrais, Questão 8.12
Mostre que a integral converge.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que mostrar que a seguinte integral é convergente
não precisamos resolver a integração, mas analisar os critérios de convergência de forma a garantir que ela retorne algum valor finito! Vamos tentar fazer isso!
Passo 2
Vamos analisar primeiro a integral
essa integral pode ser escrita como
vamos tentar fazer uma substituição simples da forma
e
portanto, temos que
A nossa integral se torna
Vamos expandir usando frações parciais! Saca só!
Passo 3
Usando frações parciais temos que
de maneira que
comparando os coeficientes em ambos os lados da equação, temos que
e
Portanto, , e a nossa integral se torna
estas integrais podem ser identificadas como
Avaliando os limites temos que
ou simplesmente
usando propriedades do logaritmo podemos escrever que
já que o segundo termo não depende de . Vamos analisar o limite no primeiro termo!
Passo 4
Propriedades do limite permitem escrever
esse limite é uma indeterminação do tipo , então, se aplicarmos L'hospital, temos que
Portanto, podemos garantir que
Sendo assim, temos que a nossa integral é dada por
que é convergente! Mas isso nos ajuda de alguma forma? Temos que
se dividirmos ambos os lados por , temos que
se temos que a relação acima é verdadeira e que
é convergente, então por comparação, temos que
também é convergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!