UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Prof° Ricardo Martins - Listas sobre Integrais, Questão 8.11
Mostre que a integral converge.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que mostrar que a seguinte integral é convergente
não precisamos resolver a integração, mas analisar os critérios de convergência de forma a garantir que ela retorne algum valor finito! Vamos tentar fazer isso!
Passo 2
Vamos usar a relação de meio ângulo do cosseno para escrever
note que a integral
pode ser resolvida facilmente resultando em
esse limite é dado por
Portanto, a integral
é convergente! Mas como isso nos ajuda? Vamos lembrar algumas propriedades do cosseno!
Passo 3
Temos que o cosseno está limitado entre dois valores
se eu dividir toda a desigualdade por , temos que
Agora, se integrarmos nos limites desejados toda a desigualdade, temos que
como temos que o termo que é “maior” que todos os outros é convergente, então temos que
também é convergente! Sendo assim a soma
é convergente! Garantindo que
é convergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!