Mostre que a integral ∫ 2 ∞ c o s 2 ( x ) x 2 d x converge.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que mostrar que a seguinte integral é convergente

∫ 2 ∞ c o s 2 ( x ) x 2 d x

não precisamos resolver a integração, mas analisar os critérios de convergência de forma a garantir que ela retorne algum valor finito! Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

Vamos usar a relação de meio ângulo do cosseno para escrever

∫ 2 ∞ c o s 2 ( x ) x 2 d x = 1 2 ∫ 2 ∞ 1 x 2 d x + 1 2 ∫ 2 ∞ c o s ( 2 x ) x 2 d x

note que a integral

∫ 2 ∞ 1 x 2 d x

pode ser resolvida facilmente resultando em

l i m a → ∞ ∫ 2 a 1 x 2 d x = - l i m a → ∞ 1 x | 2 a = l i m a → ∞ 1 2 - 1 a

esse limite é dado por

l i m a → ∞ 1 2 - 1 a = 1 2

Portanto, a integral

∫ 2 ∞ 1 x 2 d x

é convergente! Mas como isso nos ajuda? Vamos lembrar algumas propriedades do cosseno!

Passo 3

Temos que o cosseno está limitado entre dois valores

- 1 ≤ c o s ( 2 x ) ≤ 1

se eu dividir toda a desigualdade por x 2 , temos que

- 1 x 2 ≤ c o s ( 2 x ) x 2 ≤ 1 x 2

Agora, se integrarmos nos limites desejados toda a desigualdade, temos que

- ∫ 2 ∞ 1 x 2 d x ≤ ∫ 2 ∞ c o s ( 2 x ) x 2 ≤ ∫ 2 ∞ 1 x 2 d x

como temos que o termo que é “maior” que todos os outros é convergente, então temos que

∫ 2 ∞ c o s ( 2 x ) x 2

também é convergente! Sendo assim a soma

∫ 2 ∞ c o s 2 ( x ) x 2 d x = 1 2 ∫ 2 ∞ 1 x 2 d x + 1 2 ∫ 2 ∞ c o s ( 2 x ) x 2 d x

é convergente! Garantindo que

∫ 2 ∞ c o s 2 ( x ) x 2 d x

é convergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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