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Exercícios Resolvidos de Propriedades das Integrais

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Enunciado

Encontre a integral indefinida.

c) ∫ x 2 + 1 + 1 1 + x 2 d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos aplicar algumas propriedades simples de integrais em conjunto com primitivas triviais de funções.

Sabemos que a integral da soma de duas funções é igual à soma das integrais isoladas dessas funções, portanto:

∫ x 2 + 1 + 1 1 + x 2 d x = ∫ x ² d x + ∫ 1 d x + ∫ 1 1 + x 2 d x

Passo 2

Sabemos que, com exceção da função no formato a x - 1 , podemos integrar a x n da seguinte forma:

∫ a x n   d x = a n + 1 x n + 1 + C

Podemos agora calcular:

∫ x ² d x + ∫ 1 d x + ∫ 1 1 + x 2 d x = x 3 3 + x + ∫ 1 1 + x 2 d x + C

Ora, mas e ∫ 1 1 + x 2 d x ?

Passo 3

A função 1 1 + x 2 possui uma primitiva bastante recorrente, sendo a r c t g x + C . Logo, a resposta da nossa questão é:

x 3 3 + x + a r c t g ( x ) + C

No entanto, podemos provar isso a partir de uma simples substituição:

x = t g ( u ) ; d x = s e c ² ( u ) d u

Lembremos de antemão que s e c 2 u = 1 + t g ² ( u ) , algo que pode ser provado por relações trigonométricas fundamentais, mas não nos atemos a isso agora.

∫ 1 1 + x 2 d x = ∫ s e c ² ( u ) 1 + t g ² ( u ) d u = ∫ s e c ² ( u ) s e c ² ( u ) d u = u + C

Ora, se x = t g u ,   u = a r c t g ( x ) . Portanto, a primitiva é de fato a r c t g x + C .

Ufa kkk, até a próxima galerinha 😉

Resposta

c) ∫ x 2 + 1 + 1 1 + x 2 d x = x 3 3 + x + a r c t g ( x ) + C

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