Considere a matriz:

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b Determine a dimensão de I m T e a dimensão de ker ⁡ T a partir da matriz A .

c A transformação T é um isomorfismo? Os espaços vetoriais P 2 , R 3 são isomorfos? Justifique.

Passo 1

b Temos que:

dim ⁡ ker ⁡ T = dim ⁡ ker ⁡ A

dim ⁡ I m T = dim ⁡ I m A

Escalonando A :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ~ 1 2 3 0 - 3 - 6 0 - 6 - 12 ~ 1 2 3 0 - 3 - 6 0 0 0

Logo,

dim ⁡ ker ⁡ T = dim ⁡ ker ⁡ A = 1

dim ⁡ I m T = dim ⁡ I m A = 2

Passo 2

c Como dim ⁡ ker ⁡ T ≠ 0 , T não é injetora, e portanto não é um isomorfismo.

No entanto, P 2 e R 3 são sim isomorfos pois a aplicação

S a + b x + c x 2 = a , b , c

é trivialmente linear e bijetora.

Resposta

b dim ⁡ ker ⁡ T = dim ⁡ ker ⁡ A = 1

dim ⁡ I m T = dim ⁡ I m A = 2

c   Não. Sim.

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