Mostrar que a matriz do operador linear identidade
em uma base qualquer, é a matriz identidade .
Passo 1
Eu sei, mostrar, que saco né? Mas vamos lá:
O enunciano pediu pra mostrarmos que a matriz que representa a transformação identidade em qualquer espaço e com qualquer base, é a matriz identidade .
Então nós não só não podemos definir os vetores da base, mas também não podemos definir seu tamanho.
Como a transformação vai do para o , a base do domínio e do contra domínio será a mesma, dada por:
Passo 2
Temos nossa base. Agora aplicamos cada vetor dessa base na transformação.
Como é a transformação identidade, ela levará cada vetor da base nele mesmo:
Passo 3
Agora passamos cada um desses vetores para a base arbitrária :
No entanto, como é uma base de , e os vetores que vamos escrever em função dela fazem todos parte dela, nenhum vetor , , pode ser formado como uma combinação de outros vetores da base. Logo:
Passo 4
Pegamos esses vetores e jogamos nas colunas de uma matriz :
E é isso aí, ta mostrado ;)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)