Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

Sejam e . Considere o conjunto .

(a) Mostre que é base do .

(b) Determine e .

(c) Determine para .

(d) A projeção (não necessariamente ortogonal) de um vetor w sobre um vetor v, na direção de um vetor u, é o vetor w’ que tem a direção de v e tal que w-w’ tem a direção de u, como a figura abaixo.

Encontre a matriz da transformação linear que é a projeção de (x,y) sobre na direção de .

Passo 1

(a) Pra ser base, o conjunto deve ser capaz de gerar todo o espaço e ser LI.

A dimensão de é 2, então com no mínimo dois vetores conseguimos gerar esse espaço.

Agora precisamos mostrar que e são LI.

Como só temos dois vetores, para eles serem LI basta que um não seja múltiplo do outro.

Vemos que e não são múltiplos, logo não são combinação linear um do outro e o conjunto é LI.

Então, é base de .

Passo 2

(b) Para escrever um vetor em uma base, precisamos encontrar as coordenadas dele nessa base.

Então, para o vetor (1,0) na base , vamos precisar achar os valores de a e b tais que:

Vamos ficar com o sistema:

Pela segunda equação:

Substituindo na primeira:

Então:

E o vetor (1,0) na base vai ser:

Fazendo a mesma coisa pro vetor (0,1), queremos encontrar c e d tais que:

Temos o sistema:

Pela primeira equação:

Substituindo na segunda:

Logo:

E o vetor (0,1) na base vai ser:

Passo 3

No primeiro caso, temos a primeira coluna da matriz de mudança de base de para a base canônica do .

No segundo, temos a segunda coluna dessa matriz.

Ela vai ser então:

Aplicando A a um vetor (x,y) qualquer do , vamos ter:

Logo:

Passo 4

(d) A projeção definida no enunciado faz com que os vetores que estão na direção de permaneçam iguais, enquanto os que estão na direção de sejam zerados.

Logo, queremos encontrar uma matriz P para essa transformação tal que:

A primeira coluna dessa matriz P pode ser encontrada se aplicarmos o vetor (1,0) a ela.

Vimos antes, na letra (b), que o vetor (1,0) pode ser escrito como:

Aplicando P nos dois lados:

Como a transformação é linear, podemos fazer:

Como definimos P(2,1)=(2,1) e P(1,-3)=(0,0):

Essa é a primeira coluna de P!

Agora, pra achar a segunda coluna de P, aplicamos o vetor (0,1) a essa matriz.

Vimos também na letra (b) que o vetor (0,1) pode ser escrito como:

Aplicando P dos dois lados:

Como a transformação é linear, podemos fazer:

Usando o que definimos antes:

Acabamos de achar a segunda coluna de P!

Então, a matriz P vai ser:

Resposta

(b)

(c)

(d)

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