Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear que leva o vetor ( 1,2 ) em ( 7,14 ) e o vetor ( - 2 , - 3 ) em - 2 7 , - 3 7 . Seja A a matriz de T na base canônica. A soma dos elementos da primeira linha de A é:

(a) - 54 7

(b)   - 33 7

(c)   - 40 7

(d)   - 47 7

Passo 1

A matriz da transformação linear T   na base canônica vai ter a seguinte forma:

A = ↑ ↑ T ( 1,0 ) T ( 0,1 ) ↓ ↓

Como { 1,2 , - 2 , - 3 } forma uma base do domínio e temos as imagens dos respectivos vetores, conseguimos achar essa matriz!

Passo 2

Vou achar primeiramente T ( 1,0 ) :

1,0 = a 1,2 + b - 2 , - 3

T 1,0 = a T 1,2 + b T - 2 , - 3

T 1,0 = a 7,14 + b - 2 7 , - 3 7

Precisamos apenas de a   e b , que vou achar resolvendo   1,0 = a 1,2 + b - 2 , - 3 :

1 = a - 2 b 0 = 2 a - 3 b

Assim, achamos a = - 3   e b = - 2 . Aí é só substituir para achar T ( 1,0 ) :

T 1,0 = - 3 7,14 - 2 - 2 7 , - 3 7

T 1,0 = - 143 7 , - 78 7

Agora vamos fazer o mesmo para T 0,1 :

0,1 = a 1,2 + b ( - 2 , - 3 )

T 0,1 = a T 1,2 + b T - 2 , - 3

T 0,1 = a 7,14 + b - 2 7 , - 3 7

Vamos achar a e b com   0,1 = a 1,2 + b - 2 , - 3 :

0 = a - 2 b 1 = 2 a - 3 b

a = 2           b = 1

Substituindo para encontrarmos T 0,1 :

T 0,1 = 2 7,14 + 1 - 2 7 , - 3 7

T 0,1 = 96 7 , 193 7

A = - 143 7 96 7 - 78 7 193 7

Ele só quer a soma dos elementos da primeira linha então:

- 143 7 + 96 7 = - 47 7

Resposta

(d)

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