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Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P2, Q3

Considere R 3 munido do produto interno usual e seja B = { u , v , w } uma base de R 3 que satisfaz:

u = 17 ,               v = 26 ,               w = 14

Seja T : R 3 → R 3 o operador linear simétrico cuja matriz, em relação à base B , é

- 1 2 - 2 1 1 - 1 - 3 0 0

Então, os produtos internos u ,   v ,     u ,   w     e   〈 v ,   w 〉 são iguais, respectivamente, a

Escolha uma opção:

  1. -11, -1 e -2
  2. -11, -2 e -1
  3. -1, -11 e -2
  4. -2, -1 e -11
  5. -1, -2 e -11
  6. -2, -11 e -1

Passo 1

Faaala, galerinha, o truque reside em saber que as colunas dessa matriz são dadas por [ T u ,   T v ,   T ( w ) ] na própria base B . Assim, sendo A a matriz na base canônica, temos primeiro que A = A t , pois o operador é simétrico, e que:

A u = - 1,1 , - 3 B = - u + v - 3 w A v = 2,1 , 0 B = 2 u + v A w = - 2 , - 1,0 B = - 2 u - v

Relembre que na notação matricial, vetores X e Y têm produto: X ,   Y = X t Y . Dessa forma, multiplique por A a esquerda:

A 2 u = - A u + A v - 3 A w A 2 v = 2 A u + A v A 2 w = - 2 A u - A v

⇒ A 2 u = - ( - u + v - 3 w ) + ( 2 u + v ) - 3 ( - 2 u - v ) A 2 v = 2 ( - u + v - 3 w ) + ( 2 u + v ) A 2 w = - 2 ( - u + v - 3 w ) - ( 2 u + v )

⇒ ⏞ A t = A ⇒ A t A u = 9 u + 3 v + 3 w A t A v = 3 v - 6 w A t A w = - 3 v + 6 w

Para brincar um pouco, tomemos a segunda linha e a multipliquemos por v t à esquerda:

v t A t A v = 3 v 2 - 6 v ⋅ w

⇒ A v t A v = 3 v 2 - 6 v ⋅ w

⇒ 2 u + v t ( 2 u + v ) = 3 v 2 - 6 v ⋅ w

⇒ 4 u 2 + 4 u ⋅ v + v 2 = 3 v 2 - 6 v ⋅ w

⇒ 4 u 2 + 4 u ⋅ v - 2 v 2 + 6 v ⋅ w = 0

⇒ 4 ⋅ 17 + 4 u ⋅ v - 2 ( 26 ) + 6 v ⋅ w = 0

⇒ 4 u ⋅ v + 6 v ⋅ w = - 16

⇒ 2 u ⋅ v + 3 v ⋅ w = - 8

Passo 2

Lembrando que estamos numa prova discursiva, testemos os valores. Os produtos internos são todos negativos, então os muito grandes que contém - 11 já ultrapassam - 8 (descartamos a ,   b ,   d   e e ). Testando c e f :

c :     2 - 1 + 3 - 2 = - 8

f : 2 - 2 + 3 - 1 = - 7

Vemos que apenas c atende à nossa equação.

Resposta

  1. -1, -11 e -2

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