UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.1, Questão 10
Considere a matriz tal que e Assinale o produto cujo resultado é a matriz
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Como toda matriz é uma transformação e toda transformação é uma matriz, vou encontrar essa matriz como faço para encontrar transformações.
Tenho que:
Esses vetores formam uma base para o domínio, vou achar a tranformação dos vetores da base canônica para botar nas colunas da matriz:
Opa, eu tenho o valor dessas tranformações:
Agora com
E a matriz
Passo 2
Podemos montar dois sistemas lineares:
Vou passar para a forma matricial:
e
Podemos juntar esses dois em um sistema só:
Isso parece o que? O calculo da inversa da matriz , e é isso mesmo que estamos fazendo! Mas pera, calculando a inversa, vamos achar o que?
Os valores de e , porque depois de invertida, a matriz ficará assim:
Beleza, mas não são esses valores que estamos querendo, queremos as tranformações e
Passo 3
Agora pensa um pouquinho aqui comigo. Olha como essa matriz é igual a essa multiplicaçãoo de matrizes:
Lembrando que , então, minha matriz vai ser
Repara que isso é multiplicação de duas matrizes em que a primeira é formada pelos vetores da imagem de uma base do domínio nas colunas e a segunda é o inverso da matriz que tem os vetores correspondents do domínio nas colunas!
Agora que você já sabe disso, quando ver uma questão assim, não precisa fazer esse bando de coisa!
Resposta
c