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Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

A2 T17 T16 T13

Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação. Justifique.

a Existe transformação linear T : P 3 → P 4 que satisfaz T 1 + t = t 4 , T t 3 = 1 , T 1 + t + t 3 = 2 + t 4 .

b Qualquer que seja a transformação linear T : P 2015 → M 1000 × 2 R , seu núcleo N T tem dimensão pelo menos 16.

c Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear tal que a sua matriz T U B , com respeito a um certo par de bases B e U , vale T U B = 1 0 0 0 1 1 1 1 1 . Então T é um isomorfismo.

Passo 1

a Para uma transformação linear existir o que precisamos garantir? Que ela seja de fato linear né haha. Vamos verificar isso aí! Pela linearidade da transformação temos:

T 1 + t + t 3 = T 1 + t + T t 3

Convenientemente, nos foi dado o valor de todos os termos da nossa igualdade no enunciado haha. Substituindo:

2 + t 4 = t 4 + 1

2 = 1

Bom, claramente temos um problema nessa igualdade! Logo, chegamos à conclusão de que T não é linear. A alternativa é falsa.

Passo 2

b Pelo T N I , temos:

dim ⁡ I m T + dim ⁡ N u c T = dim ⁡ D o m T

Temos então que:

dim ⁡ N u c T = dim ⁡ D o m T - dim ⁡ I m T

O domínio de T nós sabemos que é o P 2015 , que possui dimensão 2016 . A imagem de T é um subespaço vetorial do contra domínio de T , que é M 1000 × 2 cuja dimensão é 2000 . Logo, dim ⁡ I m T ≤ 2000 . Finalmente, temos:

dim ⁡ N u c T = 2016 - dim ⁡ I m T ⏟ ≤ 2000

dim ⁡ N u c T ≥ 16

Logo, a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

c Para T ser um isomorfismo, T tem que ser injetiva e sobrejetiva! Logo, a representação de T em uma base qualquer também tem de ser sobrejetiva e injetiva! Agora repara que a matriz que ele deu tem a segunda coluna igual a terceira! Daí já vemos que a matriz não é sobrejetiva, então essa é falsa!

Resposta

a Falsa

b Verdadeira

c Falsa

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