Seja T : P 2 R → R 3 a transformação linear dada por:

T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 2 , 2 a 1   , a 1 - a 2

E sejam α = 1 + x , x 2 , x - x 2 e β = 1,0 , 1 , 2,0 , - 1 , 0,1 , 0 bases para P 2 R e R 3 respectivamente.

b Determine T β α .

Passo 1

b O primeiro passo é encontrarmos T aplicado na base do domínio α :

T 1 + x = 1,2 , 1

T x 2 = 1,0 , - 1

T x - x 2 = - 1,2 , 2

Passo 2

Agora escrevemos o resultado em função da base beta:

1,2 , 1 = a 1,0 , 1 + b 2,0 , - 1 + c 0,1 , 0

a + 2 b = 1 c = 2 a - b = 1       ( I ) I I I I I

Fazendo I - I I :

3 b = 0 ⇒ b = 0

Substituindo em I :

a = 1

Logo,

T 1 + x β = 1,0 , 2

1,0 , - 1 = a 1,0 , 1 + b 2,0 , - 1 + c 0,1 , 0

a + 2 b = 1 c = 0 a - b = - 1       ( I ) I I I I I

Fazendo I - I I :

3 b = 2 ⇒ b = 2 3

Substituindo em I :

a = - 1 3

Logo,

T x 2 β = - 1 3 , 2 3 , 0

- 1,2 , 2 = a 1,0 , 1 + b 2,0 , - 1 + c 0,1 , 0

a + 2 b = - 1 c = 2 a - b = 2       ( I ) I I I I I

Fazendo I - I I :

3 b = - 3 ⇒ b = - 1

Substituindo em I :

a = 1

Logo,

T x - x 2 β = 1 , - 1,2

Passo 3

Finalmente, jogamos tudo esses 3 vetores nas colunas da matriz:

T β α = 1 - 1 3 1 0 2 3 - 1 2 0 2

Resposta

b T β α = 1 - 1 3 1 0 2 3 - 1 2 0 2

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