Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

Lembre que a imagem de uma transformação linear é definida como

b) Considere os vetores

Escritos na base canônica. Determine se

É uma base do .

c) Considere a transformação linear que verifica

Determine a matriz de na base canônica.

d) Determine se existe uma transformação linear que verifica

Passo 1

b) Para verificarmos se esses vetores formam uma base, vamos verificar se eles são LI ok?

Para isso, vamos escrever

Um vetor linearmente independente é quando um dos vetores nunca vai poder ser escrito como combinação linear do outro. No caso de uma equação como essa que temos, para que os 3 vetores sejam LI, essa equação só pode admitir a solução .

Passo 2

Beleza, temos a equação

Substituindo os vetores:

Isso nos dá o sistema:

Fazendo a terceira equação menos a segunda, temos

Substituindo na primeira, encontramos

E por fim, substituindo na terceira, temos .

Portanto, a única solução do nosso sistema é , então os nossos vetores são LI e realmente é uma base :)

Passo 3

c) Vimos no item anterior que os vetores e são linearmente independentes certo? Ou seja, formam uma base de .

Esses vetores formam imagens de uma base de .

Temos que

Queremos encontrar na base canônica, ou seja, e .

Observe que

Agora é só fazer esse esquema para encontrar e também :P

Passo 4

Temos

E, por fim

Lembrando que esse processo é baseado na observação dos vetores e nas combinações que você pode fazer com eles pra chegar no vetor que você quer ok? Não tem um jeito certo de fazer!!

Para termos na base canônica, basta montarmos uma matriz em que as colunas são, respectivamente, .

Então, a nossa matriz na base canônica é

Passo 5

d) Observe que

Ou seja, se a transformação existir, temos que , pois elas coincidem nessa base.

Porém

Opa, as transformações para são diferentes, o que é uma contradição. Então não existe essa tal dessa transformação :/

Resposta

b) Sim, é uma base.

d) Não existe.

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