Lembre que a imagem de uma transformação linear S :   R 3 → R 3 é definida como

i m a g e m S = w ∈ R 3   t a l   q u e   e x i s t e   v ∈ R 3   t a l   q u e   w = S v

b) Considere os vetores

v 1 = 1 ,   1 ,   1                       v 2 = 1 ,   0 ,   1                       v 3 = ( 0 ,   1 ,   1 )

Escritos na base canônica. Determine se

β = { v 1 , v 2 , v 3 }

É uma base do R 3 .

c) Considere a transformação linear M :   R 3 → R 3 que verifica

M 1 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   1 )

M 1 ,   0 ,   1 = ( 2 ,   1 ,   1 )

M 0 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   1 )

Determine a matriz de M na base canônica.

d) Determine se existe uma transformação linear T :   R 3 → R 3 que verifica

T 1 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   1 )

T 1 ,   0 ,   1 = ( 2 ,   1 ,   1 )

T 0 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   1 )

T 1 ,   0 ,   0 = ( 2 ,   1 ,   1 )

Passo 1

b) Para verificarmos se esses vetores formam uma base, vamos verificar se eles são LI ok?

Para isso, vamos escrever

α v 1 + γ v 2 + δ v 3 = 0 ,   0 ,   0

Um vetor linearmente independente é quando um dos vetores nunca vai poder ser escrito como combinação linear do outro. No caso de uma equação como essa que temos, para que os 3 vetores sejam LI, essa equação só pode admitir a solução α = γ = δ = 0 .

Passo 2

Beleza, temos a equação

α v 1 + γ v 2 + δ v 3 = 0 ,   0 ,   0

Substituindo os vetores:

α ( 1 ,   1 ,   1 ) + γ ( 1 ,   0 ,   1 ) + δ ( 0 ,   1 ,   1 ) = 0 ,   0 ,   0

Isso nos dá o sistema:

α + γ = 0 α + δ = 0 α + γ + δ = 0

Fazendo a terceira equação menos a segunda, temos

γ = 0

Substituindo na primeira, encontramos

α = 0

E por fim, substituindo na terceira, temos δ = 0 .

Portanto, a única solução do nosso sistema é α = γ = δ = 0 , então os nossos vetores são LI e β realmente é uma base :)

Passo 3

c) Vimos no item anterior que os vetores v 1 = 1 ,   1 ,   1 ,   v 2 = 1 ,   0 ,   1 e v 3 = ( 0 ,   1 ,   1 ) são linearmente independentes certo? Ou seja, formam uma base de R 3 .

Esses vetores formam imagens de uma base de R 3 .

Temos que

M 1 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   1 )

M 1 ,   0 ,   1 = ( 2 ,   1 ,   1 )

M 0 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   1 )

Queremos encontrar M na base canônica, ou seja, M 1 ,   0 ,   0 ,   M 0 ,   1 ,   0 e M ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Observe que

M 0 ,   1 ,   0 = M 1 ,   1 ,   1 - M 1 ,   0 ,   1 = 0 ,   1 ,   1 - 2 ,   1 ,   1 = ( - 2 ,   0 ,   0 )

Agora é só fazer esse esquema para encontrar M ( 1 ,   0 ,   0 ) e M ( 0 ,   0 ,   1 ) também :P

Passo 4

Temos

M 0 ,   0 ,   1 = M 0 ,   1 ,   1 - M 0 ,   1 ,   0 = 0 ,   1 ,   1 - - 2 ,   0 ,   0 = ( 2 ,   1 ,   1 )

E, por fim

M 1 ,   0 ,   0 = M 1 ,   0 ,   1 - M 0 ,   0 ,   1 = ( 0 ,   0 ,   0 )

Lembrando que esse processo é baseado na observação dos vetores e nas combinações que você pode fazer com eles pra chegar no vetor que você quer ok? Não tem um jeito certo de fazer!!

Para termos M na base canônica, basta montarmos uma matriz em que as colunas são, respectivamente, M 1 ,   0 ,   0 ,   M 0 ,   1 ,   0 ,   M 0 ,   0 ,   1 .

Então, a nossa matriz M na base canônica é

M = 0 - 2 2 0 0 1 0 0 1

Passo 5

d) Observe que

M 1 ,   1 ,   1 = T 1 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   1 )

M 1 ,   0 ,   1 = T 1 ,   0 ,   1 = ( 2 ,   1 ,   1 )

M 0 ,   1 ,   1 = T 0 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   1 )

Ou seja, se a transformação T existir, temos que T = M , pois elas coincidem nessa base.

Porém

M 1 ,   0 ,   0 = 0 ,   0 ,   0 ≠ T 1 ,   0 ,   0 = ( 2 ,   1 ,   1 )

Opa, as transformações para ( 1 ,   0 ,   0 ) são diferentes, o que é uma contradição. Então não existe essa tal dessa transformação T :/

Resposta

b) Sim, é uma base.

c) M = 0 - 2 2 0 0 1 0 0 1

d) Não existe.

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