Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

Ver Teoria
Exercício 21123456789101112131415161718192022232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758

Enunciado

Seja   T :   M 2 × 2   R → P 2 R a transformação linear dada por T a b c d = a + b + c x + c + 2 d x 2 , α = 1 0 1 0 , 1 0 0 1 , 1 1 0 0 , 0 0 1 0   e β = { x ,   1 - x 2 , 2 } base de P 2 ( R ) .

b)Construa [ T ] β α .

Passo 1

Queremos então escrever a matriz da transformação do enunciado, mas além disso, queremos que os elementos do domínio estejam na base α e os da imagem estejam na base β .

Vamos aplicar a transformação nas matrizes da base do nosso domínio e passar os resultados para a base da nossa imagem!

Como a Imagem é o próprio espaço coluna, colocaremos os vetores que acharemos nas colunas da nossa matriz.

Ficou confuso? Fica tranquilo, vamos ver isso com calma.

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a transformação nas matrizes de α :

T 1 0 1 0 = 1 + 0 + 1 x + 1 + 2 ∙ 0 x 2 = 1 + x + x 2

T 1 0 0 1 = 1 + 0 + 0 x + 0 + 2 ∙ 1 x 2 = 1 + 2 x 2

T 1 1 0 0 = 1 + 1 + 0 x + 0 + 2 ∙ 0 x 2 = 1 + x

T 0 0 1 0 = 0 + 0 + 1 x + 1 + 2 ∙ 0 x 2 = x + x 2

Passo 3

Agora temos que botar os resultados na base β :

1 + x + x 2 = a x + b 1 - x 2 + c 2 ⟹ 1 + x + x 2 = 2 c + b + a x - b x 2

1 = 2 c + b 1 = a 1 = - b ⟹ b = - 1

Substituindo b   na primeira equação, temos que c = 1 , então [ T v 1 ] β = 1 - 1 1

1 + 2 x 2 = a x + b 1 - x 2 + c 2 ⟹ 1 + 2 x 2 = 2 c + b + a x - b x 2

1 = 2 c + b 0 = a 2 = - b ⟹ b = - 2

Substituindo b   na primeira equação, temos que c = 3 2 , então [ T v 2 ] β = 0 - 2 3 2

1 + x = a x + b 1 - x 2 + c 2 ⟹ 1 + x = 2 c + b + a x - b x 2

1 = 2 c + b 1 = a 0 = - b

Substituindo b   na primeira equação, temos que c = 1 2 , então [ T v 3 ] β = 1 0 1 2

x + x 2 = a x + b 1 - x 2 + c 2 ⟹ x + x 2 = 2 c + b + a x - b x 2

0 = 2 c + b 1 = a 1 = - b ⟹ b = - 1

Substituindo b   na primeira equação, temos que c = 1 2 , então [ T v 4 ] β = 1 - 1 1 2

Passo 4

Agora é só por esses vetores que achamos nas colunas de uma matriz

[ T ] β α = 1 0 1 - 1 - 2 0 1 3 2 1 2         1 - 1 1 2

Resposta

[ T ] β α = 1 0 1 - 1 - 2 0 1 3 2 1 2         1 - 1 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T o operador linear dado pela matriz: 1 2 - 1 2 0 1 1 - 2 2 a) Calcular N ( T ) e dim ⁡ N ( T ) . b) Calcular I m ( T ) e dim ⁡ I m ( T ) .
Seja o espaço vetorial V = M ( 2 ,2 ) e a transformação linear T : V → R 3 , T a b c d = ( a + b , c - d , 2 a ) a) Mostrar que T é linear.b) Determinar T B A sendo A e B as bases canônicas de M ( 2 ,
Consideremos as transformações lineares S e T de R 3 em R 2 definidas por S x , y , z = ( 2 x - y , 3 x - 2 y + z ) e T x , y , z = ( x + y - z , y - 2 z ) .a) Determinar o núcleo da transformação lin
As transformações S :R 2 → R 3 e T :R 3 → R 2 são tais que S x , y = ( y , x - y , 2 x + 2 y ) e T x , y , z = ( x , y ) .a) Sendo B = { 1 ,0 , - 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 } uma base do R 3 , determinar a m
Sendo S e T operadores lineares do R 3 definidos por S x , y , z = ( x ,2 y , x - y ) e T x , y , z = ( x - z , y , z ) , determinar:a) [ S ∘ T ] .b) [ T ∘ S ] .