Seja   T :   M 2 × 2   R → P 2 R a transformação linear dada por T a b c d = a + b + c x + c + 2 d x 2 , α = 1 0 1 0 , 1 0 0 1 , 1 1 0 0 , 0 0 1 0   e β = { x ,   1 - x 2 , 2 } base de P 2 ( R ) .

b)Construa [ T ] β α .

Passo 1

Queremos então escrever a matriz da transformação do enunciado, mas além disso, queremos que os elementos do domínio estejam na base α e os da imagem estejam na base β .

Vamos aplicar a transformação nas matrizes da base do nosso domínio e passar os resultados para a base da nossa imagem!

Como a Imagem é o próprio espaço coluna, colocaremos os vetores que acharemos nas colunas da nossa matriz.

Ficou confuso? Fica tranquilo, vamos ver isso com calma.

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a transformação nas matrizes de α :

T 1 0 1 0 = 1 + 0 + 1 x + 1 + 2 ∙ 0 x 2 = 1 + x + x 2

T 1 0 0 1 = 1 + 0 + 0 x + 0 + 2 ∙ 1 x 2 = 1 + 2 x 2

T 1 1 0 0 = 1 + 1 + 0 x + 0 + 2 ∙ 0 x 2 = 1 + x

T 0 0 1 0 = 0 + 0 + 1 x + 1 + 2 ∙ 0 x 2 = x + x 2

Passo 3

Agora temos que botar os resultados na base β :

1 + x + x 2 = a x + b 1 - x 2 + c 2 ⟹ 1 + x + x 2 = 2 c + b + a x - b x 2

1 = 2 c + b 1 = a 1 = - b ⟹ b = - 1

Substituindo b   na primeira equação, temos que c = 1 , então [ T v 1 ] β = 1 - 1 1

1 + 2 x 2 = a x + b 1 - x 2 + c 2 ⟹ 1 + 2 x 2 = 2 c + b + a x - b x 2

1 = 2 c + b 0 = a 2 = - b ⟹ b = - 2

Substituindo b   na primeira equação, temos que c = 3 2 , então [ T v 2 ] β = 0 - 2 3 2

1 + x = a x + b 1 - x 2 + c 2 ⟹ 1 + x = 2 c + b + a x - b x 2

1 = 2 c + b 1 = a 0 = - b

Substituindo b   na primeira equação, temos que c = 1 2 , então [ T v 3 ] β = 1 0 1 2

x + x 2 = a x + b 1 - x 2 + c 2 ⟹ x + x 2 = 2 c + b + a x - b x 2

0 = 2 c + b 1 = a 1 = - b ⟹ b = - 1

Substituindo b   na primeira equação, temos que c = 1 2 , então [ T v 4 ] β = 1 - 1 1 2

Passo 4

Agora é só por esses vetores que achamos nas colunas de uma matriz

[ T ] β α = 1 0 1 - 1 - 2 0 1 3 2 1 2         1 - 1 1 2

Resposta

[ T ] β α = 1 0 1 - 1 - 2 0 1 3 2 1 2         1 - 1 1 2

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