UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 2b
Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Precisamos decidir se essa série aqui
É convergente ou divergente. E em caso de convergência, dizer ainda se a convergência é absoluta ou condicional. Mas você lembra desses conceitos?
Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar qualquer teste para ver isso!
E quando o módulo diverge? Aí aplicamos o teste das séries alternadas! Se a série alternada convergir, dizemos que a série converge condicionalmente.
E se a série alternada diverge? Então a série é divergente mesmo!
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa série positiva associada é
Agora a pergunta de milhões: qual teste escolher? Como temos uma razão de polinômios: podemos usar o teste da divergência
Relembrando dos critérios para o teste da divergência:
Supondo uma série do tipo
Fazendo
Temos dois cenários
- Se : dizemos que a série diverge
- Se : dizemos que o teste é inconclusivo (ou seja, precisamos aplicar outro teste)
Nossa missão agora é determinar o limite do módulo do termo geral!
Tudo bem até aqui?
Agora vamos avaliar o limite! Como é um módulo, aquele (-1) vai sumir.
Encontramos para o limite do termo geral um valor diferente de zero! Isso significa que a série em seu módulo diverge!
Mas ela na verdade é alternada, então ainda podemos aplicar o teste das séries alternadas e verificar se a versão alternada dessa série converge! Se o resultado for positivo, então dizemos que a série converge condicionalmente...
Bora aplicar o teste das séries alternadas?
Passo 3
O teste das séries alternadas noz diz que
Seja uma série
Para que seja uma série convergente, precisa que seja satisfeitos dois critérios
Agora nossa missão é verificar se a nossa série se encaixa nesses critérios, bora lá?
Nossa série
Mas já calculamos esse limite no passo anterior e já descobrimos que ele não é zero:
Então já quebramos um dos critérios para a convergência das séries alternadas, podemos afirmar que nossa série é divergente
Beleza pessoal? É isso! Espero ter ajudado!