UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 10 – Questão 13
Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações
Em relação à série é correto dizer:
- Diverge, pois
- Diverge, pois e diverge
- Diverge, pois
- Converge, pois e converge
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!
O problema nos deu os termos de uma série:
E perguntou em relação a , ou seja, quando somarmos todos os termos, desde até , o que acontece com essa série?
Veja bem, sempre que falamos em séries, o primeiro teste que aplicamos para verificar se a série diverge ou converge é o teste da divergência
Esse teste nos diz que se o limite do termo geral de uma sequência é infinito, então essa série é divergente. Se o limite for zero, então não podemos afirmar nada sobre essa série.
É o primeiro teste que a gente aplica! Se o limite der infinito, então essa série já é divergente e não precisamos ficar queimando a cabeça para achar outro teste!
Beleza?
Sendo assim, a ideia é a partir da fórmula de recorrência, achar uma expressão para . Ou pelo menos ver para onde vão os termos dessa série
Se os termos sempre aumentarem conforme o aumenta, então podemos afirmar que , e assim marcamos a primeira alternativa e corremos para o abraço!
Caso esse limite seja zero, então precisaremos recorrer a outro teste!
Mas fica tranquilo, pois vou resolver passo a passo com você!
Bora lá?
Passo 2
As fórmulas de recorrência são:
Então a partir de , vamos descobrir quais são os próximos termos dessa série:
Beleza? Vamos achar os próximos termos para ver o que acontece?
E assim em diante...
Passo 3
Vemos que, a partir do termo , vamos sempre ter um numerador maior do que o denominador, isso significa que somamos na série cada vez termos maiores! Isso significa que para :
E qual a implicação direta aqui? Que essa série diverge!
Então a alternativa correta é a (a).
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!