UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 2f
Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes
e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
Passo 1
Oi, tudo bem?
Precisamos decidir se essa série
Converge ou diverge
E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que quando seu termo geral
E esse é o primeiro teste: o teste da divergência. Avaliando o limite do termo geral quando , podemos ter duas conclusões:
- Se esse limite for diferente de zero: a série é divergente
- Se esse limite for igual a zero: nada podemos garantir sobre a série
Então até agora não garantimos nada!
Mas tem um teste interessante que podemos aplicar quando o limite do termo geral quase se parece com um limite fundamental: teste da comparação dos limites
O teste da comparação dos limites avalia o comportamento no infinito da razão entre dois termos gerais: o da série que queremos descobrir o comportamento e o termo geral de uma série que conhecemos o comportamento
Aqui podemos ter dois cenários (e duas conclusões diferentes):
- Se (precisa ser um número finito): ambas as séries possuem o mesmo comportamento
- Se ou : nada podemos concluir!
Então como o limite do termo geral é zero, é interessante que nossa série comparativa tenha também esse comportamento (e convergente, pois é isso que queremos mostrar)
Bora começar?
Vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa série é a seguinte
E vamos usar para comparar uma série do tipo:
Porque ela é divergente (é a nossa famosa série harmônica) e vai ajudar a gente na hora de calcular o limite!
Precisamos achar
Com
Agora #partiu calcular esse limite
Opa! Encontramos uma indeterminação! Precisamos sair dela!
Passo 3
Derivando em cima e embaixo, e avaliando novamente o limite temos
Como o fator independe de , podemos trazer ele para fora do limite, assim temos
Encontramos um valor finito maior do que zero! Oba! Assim nosso limite fica
Então o limite da razão dos termos gerais resultou em um resultado positivo e finito! Isso significa que as duas séries possuem o mesmo comportamento
Portanto, como a série
É a série harmônica e portanto divergente, então a nossa série
É divergente!
E é isso! Espero ter ajudado!