UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 9 – Questão 5
Seja cujo enésimo termo é dado por:
Para todo . Então a sequência converge?
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi, pessoal, tudo bem?
O problema nos deu uma sequência
E perguntou se ela converge!
E aqui já aviso! Vai ter truque sujo! Mas calma, vou fazer com você!
Vamos lá?
Lembrando que , então na verdade o que temos é o somatório de quando até . Ao somatório de uma sequência chamamos de série! Então nossa série é:
Então nos resta saber se essa série converge ou não
Passo 2
Para identificarmos se a série converge ou não, precisamos saber se vamos sempre somar um valor que aumenta no somatório. Ou seja, se , então vamos somar ao termo anterior um número maior, e no infinito, nossa série vai divergir. Se , então nossa série é convergente
Então, agora basta sabermos se é maior ou menor do que .
Passo 3
O menor valor que pode assumir é , então o maior valor do seno é:
Beleza?
Vamos ver se a esse valor, vamos somar um valor maior ou menor?
Calculando o :
Opa! O segundo termo já foi bem menor do que o primeiro!
Vamos testar mais um?
Encontramos um valor menor ainda!
Isso significa que nossa série é limitada superiormente por , que é o maior valor que vamos somar na nossa sequência.
Quando , o valor de , e sabemos que
Sendo assim, a sequência dada no exercício é sim convergente. Portanto a afirmativa é verdadeira!
Até a próxima!