Determine se a série ∑ n = 1 ∞ a n converge ou diverge no seguinte caso

a n = n ! n !

Passo 1

Pelo teste da divergência temos que se o lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , a série diverge. Caso esse limite de zero, não podemos afirmar nada.

Então vamos começar mexendo um pouco no termo geral. Pensa no termo n ! Como a base uma função exponencial. Então podemos calcular essa divisão, repetindo a base e subtraindo os expoentes. Fica assim,

a n = n ! n ! = n ! 1 - 1 2 = n !

Lembra que n ! é a multiplicação de n números, deste modo a função cresce infinitamente, ou seja,

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞

E pelo teste da divergência essa série diverge.

Resposta

Diverge

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