UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P1 - 2023.1, Questão 2iii
2) Considere a série , sendo como na questão anterior.
iii) Mostre que a série é divergente.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão temos uma série da sequência dada na questão anterior, ou seja, e .
O que queremos é mostrar que a série é divergente.
Tem ideia do que temos que fazer? 🤔
Quando falamos de séries, as coisas funcionam um pouco diferente em relação às sequências...
Em sequências, associamos sua convergência no valor que seus termos tendem a assumir para .
Mas em séries, associamos sua convergência no valor da soma dos termos de para .
Entendeu a diferença? 😐
Passo 2
Então se temos uma série dada por cujo limite de não tende a no infinito, dizemos que essa série diverge já que os termos de vão continuar somando valores significativos, fazendo com que a soma dos termos não estabilize em um valor.
Então temos que mostrar que nosso tende a um valor diferente de .
Vamos olhar apenas para a sequência ...
O que temos é que dado que o termo e a sequência segue a solução
Ou seja, o termo anterior é a raiz do termo atual, logo, podemos escrever os primeiros termos da sequência como
Perceba que conforme os termos vão passando, o numerador diminui. Ou seja, nossa sequência é crescente.
Porém, perceba que essa crescente é amortecida rapidamente já que o denominador sempre vai diminuindo em um ritmo cada vez menor.
Se continuássemos a escrever os termos dessa sequência, iriamos perceber que o denominador iria se aproximar cada vez mais de .
Logo, resultando em no limite.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
