Faça um estudo completo da série de funções ∑ n = 1 ∞ 2 z + 4 n n ln ⁡ n + 1 , onde z ∈ C . Não se esqueça de abordar todos os conceitos de convergência estudados.

Passo 1

Fala pessoal, vamos trabalhar o conceito de círculo de convergência. Para esta série o centro do círculo é z = - 2 , assim:

∑ n = 1 ∞ 2 z + 4 n n ln ⁡ n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 2 n n ln ⁡ n + 1 z + 2 n

Pelo teste da razão:

a n + 1 a n = 2 n ln ⁡ n + 1 n + 1 ln ⁡ ( n + 2 ) = 2 ln ⁡ n + ln ⁡ 1 + 1 n 1 + 1 n ln ⁡ n + ln ⁡ 1 + 2 n   = 2 1 + 1 ln ⁡ n ln ⁡ 1 + 1 n   1 + 1 n 1 + 1 ln ⁡ n ln ⁡ 1 + 2 n   → 2

Quando n → ∞ . Isto nos leva a concluir que a série é divergente para todo z ≠ - 2 , enquanto para este valor converge absolutamente.

Resposta

Círculo de convergência com centro em z = - 2 e raio 0 .

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