Questão 1: Escolha uma das sequências
Determine o e teste a convergência ou divergência da série
Passo 1
Bem, no caso, o que nos buscamos aqui é a solução desse limite aqui:
Para resolver esse limite, podemos fazer um truque: colocar em evidência o ...
Fazer isso é legal, pois a gente pode desconfiar que vai pra zero quando é muito grande. Se isso acontecer, o nosso limite fica fácil!
VIU? Mas pow! Para dar esse resultado, nós fizemos uma suposição de que vai a pela nossa intuição matemática. Mas será que isso é verdade? Vejamos!
Passo 2
Queremos então ver qual é o resultado do limite (que pelo nosso feeling é ):
Esse limite não é algo “trivial” como pode parecer. Mas a gente pode trabalhar com ele de uma forma mais tangível se lembrarmos de que...
Assim...
Como é um número negativo, pois ...
Agora é um número positivo . A medida que cresce a exponencial cresce tendendo ao infinito, logo...
Então está provado que...
Passo 3
Como provamos, , logo, de fato...
Passo 4
AH! E claro! Não podemos deixar de avaliar a convergência da série:
Para essa série ter a chance de convergir, o limite do termo geral no infinito tinha que ser . Como isso não rolou, a série é divergente!