Questão 1) Considere a sequência
Onde é uma constante.
- Calcule
- A série
é convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Para calcular esse limite, podemos calcular o limite da função contínua
Pois os limites serão os mesmos, saca? A vantagem de se fazer isso é que assim podemos usar as regras já conhecidas de limites, como L’Hopital entre outros :D
Então bora calcular esse limite:
Passo 2
Como quando a temos uma indeterminação do tipo
Temos que trabalhar com ela pra tentar chegar a uma indeterminação do tipo ou para que possamos aplicar L’Hopital. Ressalto, porém, que não é , pois não é um na verdade é se uma aproximação pra e nessa aproximação não sabemos o que acontece com as potências, ok?
Bem, se aplicarmos um na parada...
Ter essa sacada do é legal que o expoente desce. Bem, mas continuando com o limite...
Como a função que depende de é só o expoente, podemos colocar o limite apenas no expoente pra ver o que acontece com ele:
Se o expoente é esse limite
Qual é o valor desse expoente?
Passo 3
Veja que agora temos uma indeterminação do tipo (que ainda não é ). Se fizermos um trabalho com a função tal que...
Chegamos à desigualdade de que precisamos para usar o Teorema de L’Hopital...
Aplicando o teorema...
Como quando vai ao infinito esse limite vai a , pois vai para ...
Passo 4
Esse limite que acabamos de ver é o limite do expoente. Então, o limite da função que queremos:
É igual á:
E esse é o mesmo limite da sequência pedida saca?
Passo 5
Bem, como o limite do deu
Que é para qualquer valor de um número maior que , então a série com toda certeza diverge.
Resposta
- Diverge pelo critério da divergência.