UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 2g
Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes
e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Precisamos decidir se essa série aqui
É convergente ou divergente. E em caso de convergência, dizer ainda se a convergência é absoluta ou condicional. Mas você lembra desses conceitos?
Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar qualquer teste para ver isso!
E quando o módulo diverge? Aí aplicamos o teste das séries alternadas! Se a série alternada convergir, dizemos que a série converge condicionalmente.
E se a série alternada diverge? Então a série é divergente mesmo!
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa série positiva associada é
Agora a pergunta de milhões: qual teste escolher? Como temos um termo geral que já integramos alguma vez nessa vida: podemos usar o teste da integral
Relembrando dos critérios para a convergência
Supondo uma série do tipo
Dizemos que
e integramos de (início da série) até
- Se convergir, então converge
- Se divergir, então diverge
Tudo bem até aqui?
Agora vamos avaliar nossa série então:
Temos , logo , agora precisamos integrar!
Passo 3
Agora nossa missão é resolver a integral imprópria
Vou começar em para que não dê problema no integrando em , beleza?
Vamos resolver a integral indefinida primeiro, para depois só aplicar nos limites!
Temos no integrando e , isso significa que podemos usar substituição simples! Já que é a derivada do !
Substituindo na integral temos
Aplicando nos limites temos
Quando , temos que e a integral explode! Dizemos portanto que a série
É divergente
Mas ela na verdade é alternada, então ainda podemos aplicar o teste das séries alternadas e verificar se a versão alternada dessa série converge!
Se o resultado for positivo, então dizemos que a série converge condicionalmente. Mas se falhar em algum dos critérios para convergência, aí a série é divergente mesmo
Bora aplicar o teste das séries alternadas?
Passo 4
O teste das séries alternadas noz diz que
Seja uma série
Para que seja uma série convergente, precisa que seja satisfeitos dois critérios
Agora nossa missão é verificar se a nossa série se encaixa nesses critérios, bora lá?
Nossa série
Vamos começar calculando o limite:
Primeiro critério satisfeito com sucesso!
Agora vamos para o segundo:
E comparando um com o outro
E assim temos o segundo critério também satisfeito!
Sendo assim, dizemos que a série converge condicionalmente!
Isso acontece já que a série em módulo diverge, mas a alternada converge.
Beleza pessoal? É isso! Espero ter ajudado!