UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 9 – Questão 9
Em relação à sequência dada por
É correto afirmar que
- Oscila entre 1 e 0
- Converge a 0
- Converge a 1
- Diverge para
- Diverge para
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Uma sequência numérica, como o próprio nome diz é uma sequência de ... números! Ok, mas será que serve qualquer número?
Não! Os números estão organizados por meio de alguma “lei”, e essa lei (ou termo geral) muda de exercício para exercício...
No nosso caso o termo geral é dado por
Aquele é a soma de todos os termos do somatório. Mas como assim? Se tivermos
Então nosso é:
E se nosso for outro? Não tem problema! Desde que ele seja um número natural (inteiro e positivo) está tudo bem!
Agora vamos voltar à nossa questão.
O problema nos deu essa sequência e perguntou qual das alternativas estão corretas:
- Oscila entre 1 e 0
- Converge a 0
- Converge a 1
- Diverge para
- Diverge para
O que ele quer saber é o comportamento dessa sequência quando é isso que significa dizer se essa sequência diverge ou converge.
Uma sequência converge quando a soma dos termos vai convergindo para um número. E ela diverge quando a soma fica cada vez maior.
Ela oscila entre e quando o resultado da soma ora é 1 ora é 0.
Então para determinar qual alternativa está correta, precisamos olhar termo a termo. Vamos lá?
Passo 2
Vamos olhar a nossa sequência:
Para temos
Para temos:
Para temos:
Para temos:
E assim em diante...
E aí nossa soma de termos
Passo 3
Cada vez que adicionamos um termo a essa sequência, o valor da soma muda! Mas ele não muda muito, ele oscila entre e 0!
Isso porque expoentes pares vão resultar em e expoentes ímpares vão resultar em . Aí sempre que fomos adicionando mais um termo, a soma que era se torna , e depois se torna de novo, depois ...
Sendo assim, a soma de termos oscila entre e 0, sem ter uma resposta definitiva. Tá bem?
E a alternativa correta é a (a)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!