USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 8
Considere as seguintes séries:
Podemos afirmar que:
a) Ambas as séries são divergentes.
b) A série (A) é convergente com soma e a série (B) é divergente.
c) A série (A) é divergente e a série (B) é convergente com soma .
d) A série (A) é convergente com soma e a série (B) é convergente com soma .
e) A série (A) é convergente com soma e a série (B) é convergente com soma .
Passo 1
Fala galera, prontos para mais uma questão divertida de séries? Essa aqui é uma das minhas favoritas!
O problema fornece duas séries e temos que avaliar se elas convergem ou não. Se elas convergirem, temos que achar o valor da soma também!
O legal desse problema é que as duas séries são séries telescópicas! Vamos entender o que é isso com bastante calma. Para isso, vou abrir a soma (A) termo a termo:
Note que vários termos vão se cancelando dois a dois, sobrando apenas:
Fazendo , o último termo desaparece, restando
Vemos que a série (A) é convergente e sua soma é .
Esse tipo de série é chamada telescópica pois todos os termos se cancelam, sobrando apenas o primeiro e o último!
Passo 2
Vamos olhar agora para a segunda série:
Abrindo a soma:
Com todos os cancelamentos:
Acontece que agora, quando fazemos , o limite não existe pois o seno fica oscilando loucamente. Portanto, a série (B) é divergente!
Passo 3
Como a série (A) converge para e a série (B) diverge, a alternativa correta é alternativa B!
Eu gosto muito desse tipo de questão porque ela foge um pouco do usual, não temos que usar nenhum critério para ver se a série converge ou não, apenas um pouco de criatividade 😊
Resposta
Alternativa B.