Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 4 – Exercício 21
(Capítulo 11.4 – Exercício 21) Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Oii galera, vamos lá? Nessa questão temos essa série:
E aí queremos saber se ela converge (tende a um valor finito) ou diverge (explode para o infinito)
Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.
Este teste funciona da seguinte forma: vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não () e então calculamos o seguinte limite
Se for um número finito e , ambas as séries convergem ou ambas divergem (dependendo do que conhecemos sobre )
Então boraaaa
Passo 2
Neste caso a série que queremos comparar é a de termo
Para comparar, usaremos a série harmônica, que se parece muito com o que temos:
A princípio, já sabemos que a série com termo converge
Agora vamos testar o limite: se for finito e maior do que 0, a série de termo também diverge
Passo 3
Vamos calcular o limite
Fazendo a divisão de frações
Vamos dividir em duas frações
Colocando n em evidencia na raiz e na segunda fração
Simplificando e
Como e a série
É uma série-p com que é maior que e converge, nossa série
Também converge.
Resposta
Converge.