UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 9 – Questão 6
Em relação à sequência dada por
É correto afirmar que
- Diverge para
- Converge a 0
- Diverge para
- Converge a -1
- Converge a 1
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Uma sequência numérica, como o próprio nome diz é uma sequência de ... números! Ok, mas será que serve qualquer número?
Não! Os números estão organizados por meio de alguma “lei”, e essa lei (ou termo geral) muda de exercício para exercício...
No nosso caso o termo geral é dado por
Aquele é a soma de todos os termos do somatório. Mas como assim? Se tivermos
Precisamos achar todos os termos começando com e indo de 1 em 1 até .
Então nesse caso nosso é:
E se nosso for outro? Não tem problema! Desde que ele seja um número natural (inteiro e positivo) está tudo bem!
Agora vamos voltar à nossa questão.
O problema nos deu essa sequência e perguntou qual das alternativas estão corretas:
- Diverge para
- Converge a 0
- Diverge para
- Converge a -1
- Converge a 1
O que ele quer saber é o comportamento dessa sequência quando é isso que significa dizer se essa sequência diverge ou converge.
Uma sequência converge quando a soma dos termos vai convergindo para um número. E ela diverge quando a soma fica cada vez maior.
Então para determinar qual alternativa está correta, precisamos olhar termo a termo. Vamos lá?
Passo 2
Vamos olhar a nossa sequência:
Para temos
Para temos (é o termo anterior mais com ):
Para temos (de novo é a soma do com o termo de ):
Para temos:
E assim em diante...
Mas calma! Vamos ver o comportamento no infinito agora! Vamos lá!
Passo 3
Cada vez que adicionamos um termo a essa sequência, o valor da soma do termo anterior some quase todo, ficando apenas o e o termo que tem como denominador a próxima posição, que é o
Resgatando os valores das somas dos n-ésimos termos que achamos no passo anterior temos o seguinte, saca só:
O a gente pode então dizer, seguindo a mesma lógica, que é
E assim em diante...
Assim a soma de termos é
Beleza?
Passo 4
Fazendo a soma de infinitos termos, ou seja, , temos o limite
Então nossa sequência converge para !
A alternativa correta é a (d)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!