Considere a série

∑ n = 0 ∞ n ! 2 k n !

Onde k é um inteiro positivo

  1. Mostre que série diverge para k = 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa série parece ser complicada, mas vou facilitar para você! Vamos lá?

O problema pede para avaliarmos a convergência dessa série aqui:

∑ n = 0 ∞ n ! 2 k n !

quando k = 1 . Então o primeiro passo é substituir esse k e aplicar algum teste! O teste mais simples (e aquele que a gente usa para evitar a fadiga) é o teste da divergência

esse teste nos diz que se o limite do termo geral for diferente de zero, então a série é divergente. Se o limite for zero, não podemos concluir nada sobre a convergência da série

como o problema pede para mostrar que a série é divergente, podemos presumir que o limite vá ser infinito e poderemos usar esse resultado

beleza?

Passo 2

Vamos agora substituir k = 1 na série:

∑ n = 0 ∞ n ! 2 k n !

Então nossa série fica assim

∑ n = 0 ∞ n ! 2 n ! = ∑ n = 0 ∞ n !

Tranquilo?

Passo 3

Com o termo geral igual a a n = n ! , podemos aplicar o teste da divergência:

lim n → ∞ ⁡ n ! = + ∞

O fatorial fica cada vez maior, e no infinito ele explode!

Mostramos, portanto que essa série é divergente!

Beleza?

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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