UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 2a
Considere a série
Onde é um inteiro positivo
- Mostre que série diverge para
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa série parece ser complicada, mas vou facilitar para você! Vamos lá?
O problema pede para avaliarmos a convergência dessa série aqui:
quando . Então o primeiro passo é substituir esse e aplicar algum teste! O teste mais simples (e aquele que a gente usa para evitar a fadiga) é o teste da divergência
esse teste nos diz que se o limite do termo geral for diferente de zero, então a série é divergente. Se o limite for zero, não podemos concluir nada sobre a convergência da série
como o problema pede para mostrar que a série é divergente, podemos presumir que o limite vá ser infinito e poderemos usar esse resultado
beleza?
Passo 2
Vamos agora substituir na série:
Então nossa série fica assim
Tranquilo?
Passo 3
Com o termo geral igual a , podemos aplicar o teste da divergência:
O fatorial fica cada vez maior, e no infinito ele explode!
Mostramos, portanto que essa série é divergente!
Beleza?
Ufa! Terminamos!
Bora pra próxima?