UTFPR– Cálculo Avançado – Lista 4 – Questão 1h
Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão está no final de uma longa lista, vamos resolver esse penúltimo item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)
Precisamos decidir se essa série
Converge ou diverge
E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que quando seu termo geral
E esse é o primeiro teste: o teste da divergência. Avaliando o limite do termo geral quando , podemos ter duas conclusões:
- Se esse limite for diferente de zero: a série é divergente
- Se esse limite for igual a zero: nada podemos garantir sobre a série
Então até agora não garantimos nada!
Mas tem um teste interessante que podemos aplicar quando o limite do termo geral quase se parece com um limite fundamental: teste da comparação dos limites
O teste da comparação dos limites avalia o comportamento no infinito da razão entre dois termos gerais: o da série que queremos descobrir o comportamento e o termo geral de uma série que conhecemos o comportamento
Aqui podemos ter dois cenários (e duas conclusões diferentes):
- Se (precisa ser um número finito): ambas as séries possuem o mesmo comportamento
- Se ou : nada podemos concluir!
Então como o limite do termo geral é zero, é interessante que nossa série comparativa tenha também esse comportamento (e convergente, pois é isso que queremos mostrar)
Bora começar?
Vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa série é a seguinte
E vamos usar para comparar uma série do tipo:
Porque ela é convergente e vai ajudar a gente na hora de calcular o limite!
Precisamos achar
Com
Agora #partiu calcular esse limite
Opa! Encontramos uma indeterminação! Precisamos sair dela!
Passo 3
Derivando em cima e embaixo, e avaliando novamente o limite temos
Como o fator independe de , podemos trazer ele para fora do limite, assim temos
Encontramos um limite fundamental no caminho! Oba! Assim nosso limite fica
Então o limite da razão dos termos gerais resultou em um resultado positivo e finito! Isso significa que as duas séries possuem o mesmo comportamento
Portanto, como a série
É uma p-série com e convergente, então a nossa série
É convergente!
E é isso! Espero ter ajudado!