Determine quais séries abaixo convergem e quais divergem.
Passo 1
Vamos começar vendo o limite do termo geral dessa série,
O termo geral vai se
Ou seja, queremos
Isso porque se esse limite for diferente de , já podemos dizer que essa série diverge pelo teste da divergência.
Se o limite não der vamos caçar outros testes para usar
Passo 2
Vamos fazer o limite
Temos uma indeterminação ali dentro do , vamos começar jogando o limite para dentro da função . Podemos fazer isso porque ela é contínua
Vamos agora fazer aquele limite dentro do
Ainda temos a indeterminação, mas fizemos isso para podermos isolar essa indeterminação para ficar mais tranquilo de achar esse limite.
Repara que temos polinômio sobre polinômio nessa parada, então vamos colocar o de maior grau em evidência no numerador e no denominador
Simplificando esse
Passo 3
Opa achamos o limite, não deu , então pelo teste .... CALMA, SEGUUUURA AÍ!!!
Esse não é o limite que queremos, lembra que esse é o limite dentro do ? O limite que queremos vai ser
Agora sim achamos o limite do termo geral. Esse limite não é , então pelo teste da divergência essa série diverge.
Resposta
Essa série diverge.