UTFPR. Campus Londrina. Cálculo 3. Listas de Estudos. 2022.2. Questão 1e.
1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.
e)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão foi dada uma série e o que temos que fazer é determinar se essa série converge ou diverge.
A série em questão é dada como
Existem vários métodos para determinar se a série é convergente ou divergente.
Mas quando temos uma série que desconfiamos que seja divergente, usamos o teste da divergência.
Conhece esse teste? 🤔🤔
O ideal seria usar esse teste em todos os casos como o primeiro teste, mas com o tempo, nós criamos um feeling sobre as séries, então é muito importante praticar!
Voltando ao problema, ao aplicarmos o teste da divergência calculamos na verdade estamos calculando o limite de , para tendendo ao infinito.
Se o limite resultar em um valor diferente de , a série diverge, caso o contrário, não podemos afirmar nada.
Bora ver no nosso problema? 😎
Passo 2
Nesse caso, , então montando o limite pelo teste da divergência...
Se substituirmos por , vamos chegar em
Vamos analisar esse termo .
Podemos imaginar que esse termo vai para o infinito, não é? Mas veja só, quanto é ? , não é?
E quanto é ? .
Mas quanto é ? ... no primeiro caso, o valor resultante foi um numero maior que a base do expoente, já no último, o resultado foi um valor menor que o valor da base do expoente.
Isso porque se a base do expoente for maior que , o resultado é um número maior, mas se for menor, o número resultante é menor.
Portanto, um número menor que elevado ao infinito resulta em um número tão pequeno que podemos considerar que seja .
Ou seja
Dessa forma, o limite de resulta em
O limite de uma constante é a própria constante.
Como é um valor diferente de , como explicamos no passo 1, a série diverge!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
Diverge pelo teste da divergência.