Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 4 – Exercício 29
(Capítulo 11.4 – Exercício 29) Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Oii galera, vamos lá? Nessa questão temos essa série:
E aí queremos saber se ela converge (tende a um valor finito) ou diverge (explode para o infinito)
Para isso, vamos usar o teste da comparação fechou?
Este teste funciona da seguinte forma: vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.
Supondo que nós temos duas séries: e , podemos concluir algumas coisas:
Se e nós sabemos que diverge, então também diverge.
Se e nós sabemos que converge, então também converge.
Para outros casos não podemos concluir nada.
Então partiuuu
Passo 2
Temos
Se chamarmos o termo geral da nossa série de , podemos dizer que
E isso vale para .
Para escolher a outra série vamos pensar o seguinte, temos que
Isso vale para , se colocarmos ambas as expressões como denominadores de fração, o sinal de desigualdade inverte
Portanto, temos um termo que é maior que o nosso termo, então
A série de termo geral é uma série geométrica com
Então, é uma série convergente
Agora vamos chegar às nossas conclusões sobre
Passo 3
Então como e nós sabemos que converge, lembrando então do teste da comparação:
Se e nós sabemos que converge, então também converge.
Logo, a série
É convergente.
Resposta
Converge.