(3.0) Justifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa.
(a) A sequência verifica .
(b) Se a -ésima soma parcial de uma série for então .
(c) A série é uma série convergente.
Passo 1
Fala aí, vamos ver o que a afirmação da letra (a) nos pede.Ela que o limite da sequência , né? Bom, vamos pensar primeiro no numerador. A função seno assume valores entre e . Então podemos dizer que:
Bom, então a gente pode dizer que:
Opaaa, nossa sequência está entre duas sequências. Vamos aplicar o Teorema do Confronto, ou seja, calcular o limite para elas.
A nossa seuência então ficará assim:
Afirmação: Falsa
Passo 2
Belezaaa, agora vamos analisar a letra (b). Primeiro, vamos pensar um pouco sobre o que significa uma soma parcial. O que seria a soma ? Concorda que seria só o termo ? Tá, e ?Bom, nesse caso, seria . Pela mesma lógica, e assim por diante, ok? Agora, imagina que eu sei o valor de e de e te pergunto o valor de . Bom, basta fazer . Pensando aí parece bem tranquilo, néAgora, olha o que a questão está pedindo:
“Se a -ésima soma parcial de uma série for então ”
Pelo que a gente viu ali, concorda comigo que . É a mesma ideia que usamos para descobrir . Agora que a gente já entendeu a malícia da questão, bora resolver.
Logo, a afirmação é Falsa
Passo 3
Maravilha, já resolvemos a letra (a) e a letra (b), agora vamor partir para a letra (c).
Quando uma questão pede para dizer se uma série é convergente ou divergente, é mais prático a gente começar pelo teste da divergência e se ele der inconclusivo, a gente vai buscando outros, né (Isso é só porque ele é mais simples e a gente pode ganhar um tempinho)
Bom, vamos então usar o teste para a divergência.Ih, não lembro muito bem como era esse teste aí não.Ele diz o seguinte:
Se a série for convergente, então .
Então se o , a nossa série é DIVERGENTE.
Logo, a série é divergente!
Afirmação: Falsa
Resposta
(a) Afirmação: Falsa
(b) Afirmação: Falsa
(c) Afirmação: Falsa