Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 2 – Exercício 59
(Capítulo 11.2 – Exercício 59) Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
59.
Passo 1
E aeee galera, tudo tranquilo?
Ó, nesse exercício temos uma série com um certo envolvido
E aí queremos saber o seguinte: pra quais valores de essa série vai convergir? Então quais são os valores de que fazem essa série não explodir pro infinito, saca?
E aí, a partir desses valores, a gente calcula a soma da série quando ela converge
Então boraaa
Passo 2
Colocando em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:
Esse formato é característico de uma série geométrica, não é mesmo? Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:
No nosso caso temos que e , uma vez que é o primeiro termo da sequência e é a relação comum.
Passo 3
Para uma série geométrica, se , a série é divergente. Caso contrário, se , então a série é convergente e sua soma é:
Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de ! Como queremos os valores de para os quais a série converge, então teremos:
Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:
E esse intervalo representa os valores de para os quais a série é convergente! Por fim, a soma será: