UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 2d
Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes
e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
Passo 1
Oi galerinha, tudo bem? Precisamos decidir se essa série aqui
É convergente ou divergente. E em caso de convergência, dizer ainda se a convergência é absoluta ou condicional. Mas você lembra desses conceitos?
Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar qualquer teste para ver isso!
E quando o módulo diverge? Aí aplicamos o teste das séries alternadas! Se a série alternada convergir, dizemos que a série converge condicionalmente.
E se a série alternada diverge? Então a série é divergente mesmo!
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa série positiva associada é
Agora a pergunta de milhões: qual teste escolher? Como temos uma potência de no denominador: teste das séries-p
Relembrando dos critérios para a convergência
Supondo uma série do tipo
Temos dois cenários
- Se : dizemos que a série diverge
- Se : dizemos que a série converge
Tudo bem até aqui?
Agora vamos avaliar nossa série então:
Temos , então a série em módulo é divergente!
Mas ela na verdade é alternada, então ainda podemos aplicar o teste das séries alternadas e verificar se a versão alternada dessa série converge! Se o resultado for positivo, então dizemos que a série converge condicionalmente...
Bora aplicar o teste das séries alternadas?
Passo 3
O teste das séries alternadas noz diz que
Seja uma série
Para que seja uma série convergente, precisa que seja satisfeitos dois critérios
Agora nossa missão é verificar se a nossa série se encaixa nesses critérios, bora lá?
Nossa série
Vamos começar calculando o limite:
Primeiro critério satisfeito com sucesso!
Agora vamos para o segundo:
E comparando um com o outro
E assim temos o segundo critério também satisfeito!
Sendo assim, dizemos que a série converge condicionalmente!
Isso acontece já que a série em módulo diverge, mas a alternada converge.
Beleza pessoal? É isso! Espero ter ajudado!