Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 5 – Exercício 3
(Capítulo 11.5 – Exercício 3) Teste a série quanto a convergência ou divergência
Passo 1
Faaala galera, vamos lá!
Esse exercício dá uma série pra gente:
E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?
Então para resolvermos esse exercício, vamos começar encontrando o termo geral e a razão dessa série, pra aí entendermos se ela converge ou diverge
Boraaa!
Passo 2
Temos
Antes de testarmos se a série converge ou diverge, temos que escrever uma expressão pra sequência que nos foi dada, certo? Podemos notar algumas coisas se olharmos pra essa sequência: a primeira é que há alternância entre os sinais, a segunda é que o numerador é composto apenas por números pares e a terceira é que o denominador aumenta de começa em e aumenta de um em um. Escrevendo uma série, teremos:
Opa, como a nossa série vai alternando os sinais entre positivo e negativo, podemos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:
1. ;
2.
Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!
Passo 3
Nossa série é
Chamando , temos que
Uai, mas aí já temos um contraexemplo de que não é verdadeiro que , porque se fizemos , por exemplo, já temos
Enquanto:
Como , temos que pode ser maior que , então a primeira condição já não é satisfeita
Dessa forma, podemos concluir que a série que nos foi dada é divergente.