UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 11, Questão 23
Seja uma série de termos positivos tal que
.
Em relação a convergência da série, é correto afirmar que:
Não se pode dizer nada.
Converge.
Diverge.
Passo 1
Eaew, tudo bem contigo?
Nós temos aqui uma série infinita de termos positivos da forma
em que os elementos das séries são dados pela relação
.
Aqui temos uma desigualdade entre dois coeficientes de séries infinitas. Portanto, podemos utilizar a divergência do termo menor, ou a convergência do termo maior, para determinar a divergência (ou convergência) do outro termo! Como toda informação que temos é a desigualdade acima, e queremos analisar a convergência da série construída usando , só vamos ser capazes de dizer algo se for divergente! Já que uma série maior que uma série divergente, é necessariamente divergente! Vamos verificar essa informação!
Passo 2
Para checar se a série construída por
diverge, não temos muita opção além de fazer o teste de divergência mais comum, que analisa se
se temos que , ou que não existe. Temos que a série diverge! Em nosso caso, temos que o limite de é conhecido, o resultado é tal que
Portanto, temos que a série diverge. Se essa série diverge, e temos que
.
Então, a série
também diverge!!! Mas, essa não é a série que queremos analisar ainda! Vamos usar agora o teste da comparação!
Passo 3
O teste da comparação utiliza duas séries da forma
note que é maior que contanto que . Ou seja, nestas condições temos que
e portanto, a nossa série diverge. Agora, se tivermos que , isso muda a nossa desigualdade para
E aqui, a divergência de não nos ajuda! Precisamos verificar o teste da comparação, vamos lá!
Passo 4
Para uma desigualdade da forma
tempos que o teste da comparação é tal que
se o limite acima for então a convergência de garante a convergência de , ou se, temos que então ser relacionado a uma série convergente, nos dá que está relacionado a uma série convergente! Para , o teste toma a forma
que podemos aplicar o limite para obter
A garantia que nos indica que esta série é decrescente com , e portanto, ao levarmos o limite , temos que . Então, a divergência de garante também a divergência de . Sendo assim, nossa série é divergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
A série é divergente!