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Exercícios Resolvidos de Atrito Cinético

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Enunciado

Força de Atrito

Três blocos de massa m 1 , m 2 e m 3 estão conectados por cordas ideais através de uma polia ideal, apoiados em superfícies inclinadas de ângulos θ 1 e θ 2 como mostrado na figura. As massas dos blocos valem m 1 = 2,5   k g , m 2 = 2,0   k g , m 3 = 1,0   k g , sen ⁡ θ 1 = 0,5 , cos ⁡ θ 1 = 0,866 , sen ⁡ θ 2 = 0,6 e cos ⁡ θ 2 = 0,8 . Os valores dos coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco 1 e seu plano inclinado são respectivamente μ E = 0,6 e μ C = 0,4 .

a) Faça um diagrama de corpo livre de cada bloco no espaço abaixo. Usando as leis de Newton, determine o valor da força de atrito estático sobre o bloco 1 para que o sistema permaneça em repouso. Não existe atrito entre os blocos 2 e 3 e o plano inclinado no qual estão apoiados.

b) Considere agora que o bloco 3 sofra a ação de uma força para baixo paralela ao plano inclinado que põe o sistema em movimento. Após certo momento, a ação dessa força cessa. Nesse instante o sistema de blocos está descendo o plano inclinado θ 2 com velocidade de módulo v . A partir desse instante obtenha o valor da aceleração do bloco 1.

c) Calcule a força de tração da corda sobre o bloco 1 durante a aceleração do ítem ( b ).

Passo 1

(a)

Decompondo as forças peso:

P 1 x = P 1 . sen ⁡ θ 1 = 2,5   .   10   .   0,5 = 12,5   N

P 2 x + P 3 x = m 2 + m 3 g . sen ⁡ θ 2 = 3 .   10   .   0,6 = 18   N

Essa diferença de forças indica que a força de atrito estática sobre o bloco 1 aponta para baixo ao longo do plano inclinado θ 1 , no mesmo sentido de P 1 x , para poder compensar as forças e manter o sistema em equilíbrio.

O valor da força de atrito estática máxima é dado por:

f E 1 m á x = μ E N 1 = μ E P 1 cos ⁡ θ 1 = 0,6   .   2,5   .   10   .   0,866

f E 1 m á x = 13   N

Façamos a análise da situação utilizando a segunda lei de Newton F R e s u l → = m . a → mas lembrando que o sistema está em equilíbrio, então a aceleração é nula.

Bloco 1:

Eixo y :

N 1 = P 1 y

N 1 = P 1 cos ⁡ θ 1

Eixo x :

T 1 - P 1 x - f E 1 = 0

Bloco 2:

Eixo y :

N 2 = P 2 y

N 2 = P 2 cos ⁡ θ 2

Eixo x :

P 2 x + T 3 - T 2 = 0

Bloco 3:

Eixo y :

N 3 = P 3 y

N 3 = P 3 cos ⁡ θ 2

Eixo x :

P 3 x - T 3 = 0

Lembrando que: T 1 = T 2 , P 1 x = P 1 . sen ⁡ θ 1 , P 2 x = P 2 . sen ⁡ θ 2 e P 3 x = P 3 . sen ⁡ θ 2 podemos somar os lados esquerdos dessas equações e igualar à soma dos lados direitos:

P 2 x + P 3 x - P 1 x - f E 1 = 0

f E 1 = m 2 + m 3 g . sen ⁡ θ 2 - m 1 g . sen ⁡ θ 1

f E 1 = 2 + 1 10   .   0,6 - 2,5   .   9,8   .   0,5 = 10 . 1,8 - 1,25

f E 1 = 5,5   N

Como f E 1 < f E 1 m á x a força de atrito estática sobre o bloco 1 é f E 1 = 5,5   N .

Passo 2

(b)

Como o sistema desce sobre o plano inclinado θ 2 o bloco 1 sobe deslizando sobre o seu plano inclinado. Nesse caso a força de atrito cinética sobre esse bloco 1 aponta para baixo ao longo do plano inclinado θ 1 .

Fazendo novamente a análise da segunda lei de Newton para os blocos:

Bloco 1:

Eixo y :

N 1 = P 1 y

N 1 = P 1 cos ⁡ θ 1

Eixo x :

T 1 - P 1 x - f C 1 = m 1 a 1

Bloco 2:

Eixo y :

N 2 = P 2 y

N 2 = P 2 cos ⁡ θ 2

Eixo x :

P 2 x + T 3 - T 2 = m 2 a 2

Bloco 3:

Eixo y :

N 3 = P 3 y

N 3 = P 3 cos ⁡ θ 2

Eixo x :

P 3 x - T 3 = m 3 a 3

Lembrando que P 1 x = P 1 . sen ⁡ θ 1 , P 2 x = P 2 . sen ⁡ θ 2 , P 3 x = P 3 . sen ⁡ θ 2 , a 1 = a 2 = a 3 , T 1 = T 2 (pois os fios são inextensíveis) e f C 1 = μ C N 1 = μ C P 1 cos ⁡ θ 1 , podemos somar os lados esquerdos dessas equações e igualar à soma dos lados direitos:

P 2 x + P 3 x - P 1 x - f C 1 = m 1 + m 2 + m 3 a 1

a 1 = m 2 + m 3 g . sen ⁡ θ 2 - m 1 g . sen ⁡ θ 1 - μ C m 1 g cos ⁡ θ 1 m 1 + m 2 + m 3

a 1 = 2 + 1 . 10   .   0,6 - 2,5   .   10   .   0,5 - 0,4   .   2,5   .   10   .   0,866 2,5 + 2 + 1 = - 0,5 7   m / s 2

Passo 3

(c)

Substituindo a aceleração na equação que encontramos para o bloco 1:

Bloco 1:

Eixo y :

N 1 = P 1 y

N 1 = P 1 cos ⁡ θ 1

Eixo x :

T 1 - P 1 x - f C 1 = m 1 a 1

T 1 = P 1 x + f C 1 + m 1 a 1

T 1 = m 1 g . sen ⁡ θ 1 + μ C m 1 g cos ⁡ θ 1 + m 1 a 1

Substituindo todos os dados:

T 1 = 2,5   .   10   .   0,5 + 0,4   .   2,5   .   10   .   0,866 + 2,5 . - 0,5 7 = 19 , 7   N

Resposta

(a)

f E 1 = 5,5   N

(b) a 1 = - 0,5 7   m / s 2

(c) T 1 = 19 , 7   N

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