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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

USP – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1.13a

Considere f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

  1. Mostre que f é diferenciável em ( 0,0 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função de duas variáveis

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

E pediu para mostrar que é diferenciável.

Mas como decifrar isso?

Vamos por partes! Para uma função ser diferenciável ela primeiro precisa ser contínua! Ela também precisa ter derivadas parciais existentes em todos em pontos do domínio.

E tem mais um detalhe! Ela além desses dois itens, precisa ter a função erro igual a zero! Mas vamos por partes!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite em x

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f ( 0,0 ) x - 0

A função é

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

Então

f 0,0 = 0

f x , 0 = x 2 . 0 x 2 + 0 = 0

Aí o limite

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x - 0 = 0

Beleza?

Agora pra y

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f ( 0,0 ) y - 0

Substituindo temos

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ 0 . y 2 0 + y 4 - 0 y - 0 = 0

Vimos que suas derivadas são contínuas, ok!

Passo 3

Agora vamos ver se ela é contínua na origem! Fazendo o limite

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 4 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ y 2 x 2 + y 4 . lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2

Temos que é o produto de uma função limitada y 2 x 2 + y 4 entre 0 e 1 e uma função que vai à zero

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2

Então temos que

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 4 = 0

Então sim, nossa função é contínua na origem!

O último passo é o cálculo do erro!

Passo 4

Agora vamos ao cálculo do erro! Precisamos encontrar esse limite quando nossa função é ( 0,0 )

lim h , k → ( 0,0 ) ⁡ f h , k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 . h - ∂ f ∂ y 0,0 . k h 2 + k 2

Substituindo os valores temos

lim h , k → ( 0,0 ) ⁡ h 2 k 2 h 2 + k 4 - 0 - h - 0 . k h 2 + k 2 = lim h , k → ( 0,0 ) ⁡ h 2 k 2 h 2 + k 4 h 2 + k 2

Vamos arrumar um pouco essa expressão

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 h 2 + k 4 . k 2 h 2 + k 2

Beleza? Nossa missão é analisar esse limite! Sabemos que

h 2 h 2 + k 4

É uma função limitada, sendo assim precisamos verificar se

lim h , k → 0,0 ⁡ k 2 h 2 + k 2

Vai à zero! Beleza? Vamos supor h = k = t

lim t → 0 ⁡ t 2 2 t 2 = lim t → 0 ⁡ t 2 2 t

E esbarramos no problema do módulo! Para t → 0 + nosso limite fica

lim t → 0 + ⁡ t 2 2 t = 0

E para t → 0 - nosso limite fica

lim t → 0 - ⁡ t 2 - 2 t = 0

Logo existe! E portanto nosso erro é zero e nossa função é diferenciável!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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