Suponha que a função diferenciável f(x, y) satisfaça f(3t, t^3) = arctan(t) para todo t ∈ R .

a) Determine f(3,1) .

Passo 1

Oieee, tudo bem por aí?

Nessa questão recebemos uma função diferenciável f ( x , y ) , mas não foi dada a sua lei de formação. É falado apenas que, se ( x , y ) podem ser escritos em função de um único parâmetro como ( 3 t ,   t 3 ) , então:

f 3 t ,   t 3 = arctan ⁡ t

Sacaram?

Pra começar precisamos determinar f ( 3,1 ) .

A ideia principal é tentarmos escrever ( 3,1 ) em função do parâmetro t , e a partir daí aplicar a expressão que foi dada.

Vamo nessa!!

Passo 2

Bom, queremos calcular f ( 3,1 ) . Ou seja, temos:

x , y = ( 3,1 )

Pra conseguirmos determinar f ( 3,1 ) precisamos escrever ( 3,1 ) no formato ( 3 t ,   t 3 ) .

Então, vamos igualar as coisas:

3,1 = ( 3 t ,   t 3 )

Logo:

3 = 3 t 1 = t 3

Ou seja, temos:

t = 1

Daí, agora podemos aplicar a expressão dada:

f 3,1 = arctan ⁡ 1

Qual o ângulo cuja tangente vale 1 ?

É o ângulo π 4 .

Portanto:

f 3,1 = π 4

Prontinho! Matamos mais uma questão 😊

Valeeeu

Resposta

π 4

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