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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UFSC, Joinville, Cálculo II, P2 - 2022.2, Questão 6

6. Mostre que a função f x , y = 2 x 5 x 2 + y 2 ,     ( x , y ) ≠ 0,0 0 ,     x , y = 0,0   é diferenciável na origem.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada uma função definida por partes onde em x , y ≠ 0,0 f x , y = 2 x 5 x 2 + y 2 e quando x , y = 0,0 f x , y = 0 .

Com essas informações temos que mostrar que f é diferenciável.

Como vamos fazer isso? 🤔

Para f ser diferenciável, ela deve ser continua em todo seu domínio. Porém podemos perceber que em x , y = 0,0 a função possui uma mudança de comportamento e também em 2 x 5 x 2 + y 2 o ponto 0,0 causa uma indeterminação 0 / 0 .

Então para mostrar que f é diferenciável, temos que mostrar que o limite de f no ponto 0,0 é igual a 0 .

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 5 x 2 + y 2 = 0

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para obter essa solução podemos fazer uma mudança de variáveis para coordenadas polares. Dessa forma fazemos uma simplificação no denominador de f já que temos uma simetria polar em x 2 + y 2 .

Pra isso fazemos x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ com r tendendo a 0 .

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 5 x 2 + y 2 → lim r → 0 ⁡ 2 r cos ⁡ θ 5 r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

lim r → 0 ⁡ 2 r 5 cos 5 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ 2 r 5 cos 5 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ 2 r 5 cos 5 ⁡ θ r 2

Simplificando o numerador com o denominador, temos

lim r → 0 ⁡ 2 r 3 cos 5 ⁡ θ = 2 0 3 cos 5 ⁡ θ = 0

Portanto

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 5 x 2 + y 2 = 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 5 x 2 + y 2 = 0

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