UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P3 – 2023.1 – Questão 2
Verifique se a seguinte função é diferenciável em
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Para determinarmos se a nossa função diferenciável num ponto, a primeira coisa que precisamos fazer é verificar se a nossa função é contínua no ponto que é pedido.
Para sabermos se ela é contínua, temos que calcular:
No caso do nosso limite, vamos usar aqui o Teorema do Anulamento.
Se liga, o teorema do anulamento consiste:
Aonde:
Podemos então afirmar que
É isso que vamos usar para achar o resultado da nossa questão. Então, vamos lá:
Passo 2
Antes de tudo, vamos separar a nossa função em duas:
Vamos primeiro calcular o limite da primeira função:
Show, a primeira já satisfez uma parte das regras do Teorema. Agora, precisamos provar que a segunda função é limitada.
No caso da segunda função, reparem que estamos querendo calcular o limite de uma função seno. Importante lembrar aqui os intervalos do valor de :
Ou seja, reparem que não importa o valor de , o valor do seno vai estar sempre naquele intervalo, ou seja, ela é uma função limitada. Então:
Ok, mas isso já determina se ela é contínua? Ainda não. Para ela ser contínua, temos que verificar se respeita a seguinte ideia:
Reparem no nosso sistema que:
Logo, sim, nossa função é contínua.
Passo 3
Ok, já vimos que a nossa função é contínua. E agora? Bom, sabendo que ela é contínua, vamos precisar calcular o seguinte limite:
Nossa, é um limite imenso né? Mas fica calmo, você verá que boa parte dele nós vamos simplificar.
Logo de cara, podemos ver que
E também precisamos lembrar que:
Substituindo:
Agora, precisamos derivar no ponto . Para isso, vamos precisar usar a definição da derivada:
Opa, mais informações, vamos substituir na nossa formula:
Substituindo as fórmulas:
Passo 4
Show, agora vamos calcular o limite anterior:
Aqui nós temos exatamente a mesma situação do Passo 1. O Teorema do Anulamento vai achar o valor desse limite:
Logo:
Como o nosso limite deu zero, podemos concluir que a nossa função é diferenciável no ponto