UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 14.
Mostre que no ponto a função
Não é contínua, não tem uma das derivadas parciais e não é diferenciável.
Passo 1
Para analisar a continuidade da função, temos que calcular o limite dessa função quando tender a . E, como ele pede pra mostrar que essa função não é contínua, então esse limite deve ser diferente de ou deve não existir.
Vamos então calcular esse limite para ver o que acontece.
Substituindo no ponto
Chegamos a indeterminação .
Passo 2
Para sair disso, vamos primeiramente, tentar por caminhos diferentes, já que temos termos em e com expoentes diferentes somados, de modo que é bem provável que esse limite não exista.
Assim, pelo caminho , temos
Passo 3
Agora vamos tentar o caminho
Yesss! Como a gente previu, esse limite não existe, já que por dois caminhos diferentes, chegamos a resultados diferentes.
Desse modo, a função não é contínua em .
A partir dessa conclusão, podemos, de quebra, tirar outra conclusão: de que a função também não é diferenciável em , já que se não é sequer contínua, não tem como ser diferenciável pois para ser diferenciável, tem que ser, antes de tudo, contínua.
Passo 4
Agora, vamos provar que ela não tem uma das derivadas parciais.
E para isso, vamos tentar calcular as derivadas parciais e ver qual que não existe.
Como temos uma função definida por intervalos, precisamos usar a definição de derivadas parciais para calcular e .
Começando por .
Agora :
Ou seja, existe e é igual a 1, mas não existe.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)