UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 1ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 2b
Considere a função
Decida se é diferenciável em .
Passo 1
Olá gente bonita, tudo certinho?
Nessa questão temos uma função de duas variáveis dada por:
O enunciado nos pede para verificar se essa função é diferenciável em .
Vocês sabem como podemos verificar isso?
Então gente, existe mais de uma forma de verificarmos a diferenciabilidade.
Mas, quando a função é definida por partes, acho que é interessante utilizarmos o teorema mais geral para diferenciabilidade, que basicamente diz o seguinte:
Pra uma função ser diferenciável em é necessário e suficiente que:
Existam as derivadas parciais, e , no ponto
O limite abaixo seja igual a zero:
Ou seja, essas duas condições precisam ser respeitadas simultaneamente. Se uma delas não for verdadeira, a função não é diferenciável naquele ponto. Beleza?
Vamos então verificar cada uma dessas condições pra descobrir se é diferenciável em .
Tranquilo?
Passo 2
Bom, como vimos no passo anterior existem duas condições que precisam ser respeitadas pra função ser diferenciável em um dado ponto.
A primeira condição é que devem existir as derivadas parciais no ponto . Como aqui estamos analisando a diferenciabilidade de em , precisa existir:
E:
Mas, como vimos no item dessa mesma questão essas derivadas parciais existem e valem:
Portanto, a condição foi satisfeita.
Passo 3
A segunda condição envolve um limite bem grande que precisa ser nulo. Ele é dado por:
Sei que assusta um pouco, mas não é tão ruim quanto parece.
Pensa comigo:
Substituindo essas informações no nosso limite, ficamos com:
Esse que aparece é quando , ou seja não valem exatamente . Assim:
Daí, aplicando no limite, vamos ter:
Massa! Precisamos resolver esse limite e verificar se ele vale zero. Beleza? Vamo nessa!
Passo 4
Como normalmente fazemos no cálculo de limite, vamos começar substituindo os valores que estão tendendo na nossa expressão. Logo:
Ou seja, uma indeterminação matemática. Vamos precisar pensar um pouco mais!
Olha, nós sabemos que:
Podemos elevar toda a expressão ao quadrado, assim temos:
Podemos também dividir toda a expressão por , que claramente é positivo e portanto mantém os sinais de desigualdade como estão. Ficamos com:
Daí, podemos também multiplicar toda a expressão por , pois esse termo também é claramente positivo e mantém o sinal da desigualdade. Logo:
Massa! Daí, se aplicarmos o limite em todos os termos dessa desigualdade quando , vamos ter:
Mas:
Logo:
O que nos permite concluir que:
Sendo assim, aquele limite gigante realmente é nulo. E, como a condição é satisfeita, podemos afirmar que é diferenciável!
Muito bom galera, terminamos 😊
Até a próxima!!
Resposta
É diferenciável.