USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P2 IME -2021.2 – 1a
Seja uma função de classe qualquer, definida em todo o . Assinale todas as afirmações falsas. Escolha uma ou mais:
a) Se , então para algum .
Passo 1
Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Vamos testar se essa afirmação é falsa ou verdadeira ok? Ela nos diz que:
- Se , então para algum .
Será mesmo? Pela propriedade de derivadas em funções de classe 2, o sinal da derivada de em x garante crescimento somente em direções paralelas a esse eixo (ou seja, so garante crescimento em ).
Passo 2
Showzinho. Vamos testar: Vou pegar uma função qualquer . Vou, igual a nossa afirmativa, aplicar um ponto qualquer :
Aplicando um ponto qualquer onde (a derivada da função em x, ou ).
Ao aplicarmos um , temos:
Logo,
Comprovando que é maior que , e não igual como a afirmativa nos mostra. Logo, corrigindo essa afirmativa, vamos reescrever ela assim:
Se .
Portanto ela é falsa, porque provamos pelo menos 1 caso aonde isso não acontece.