Seja a função
- Mostre que o ao longo de qualquer reta .
- Analise a continuidade da função no ponto .
- Analise a diferenciabilidade da função no ponto .
Passo 1
(a)
Basicamente vamos substituir na expressão da função e calcular o limite, só isso! Inclusive vai ser um limite estilo cálculo 1, teoricamente mais tranquilo de calcular.
Então vamos lá:
Fatorando pelo termo de maior grau do numerador (lembra disso? haha), temos:
E
Logo
Portanto, ao longo de qualquer reta temos:
Passo 2
(b)
Agora ele quer saber se a função é contínua na origem. Ou seja, se pra qualquer caminho que a gente usar pra calcular o limite vamos ter
Acabamos de provar isso pelos caminhos do tipo .
Então partiu!
A gente pode tentar aplicar o teorema do sanduíche. Vamos dar uma olhada na função:
Repare que não temos nenhum termos do tipo
nem funções trigonométricas. Também podemos ver que o grau do numerados (6) é menor que o grau do denominador (8).
Então não tá muito promissor pro teorema do sanduba. Vai ser mais fácil tentar provar que o limite não existe!
Passo 3
Já vimos que fazendo tá tudo ok com o limite, então vamos tentar por outros caminhos!
Digamos . Vamos ter
Simplificando isso aí:
Ou seja, esse limite não existe! Porque o denominador vai a zero mais rápido que o numerador, e aí essa bagaça toda vai pro infinito.
Assim, como por um caminho o limite existe e por outro ele não existe, então na real ele não pode existir né? Porque pra existir ele precisava não depender do caminho.
Portanto, a função não é contínua na origem!
Passo 4
(c)
Pra essa questão não vai ter muito mistério não! Queremos saber se é diferenciável na origem, mas já vimos que ela não é contínua nesse ponto. E temos, para um função em algum ponto:
Toda função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto, então a não sendo contínua na origem, acabou o problema: ela não também não é diferenciável na origem!
Resposta
(a)
(b) A função não é contínua na origem.
(c) A função não é diferenciável na origem.