Limites e Continuidade
Dada a função
(a) Mostre que o ao longo de qualquer reta .
(b) A função é contínua na origem? Justifique sua resposta.
(c) A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.
Passo 1
(a)
Basicamente vamos substituir na expressão da função e calcular o limite, só isso! Inclusive vai ser um limite estilo cálculo 1, teoricamente mais tranquilo de calcular.
Então vamos lá:
Fatorando pelo termo de maior grau do numerador (lembra disso? haha), temos:
E
Logo
Portanto, ao longo de qualquer reta temos:
Passo 2
(b)
Agora ele quer saber se a função é contínua na origem. Ou seja, se pra qualquer caminho que a gente usar pra calcular o limite vamos ter
Acabamos de provar isso pelos caminhos do tipo .
Então partiu!
A gente pode tentar aplicar o teorema do sanduíche. Vamos dar uma olhada na função:
Repare que não temos nenhum termos do tipo
nem funções trigonométricas.
Então não tá muito promissor pro teorema do sanduba. Vai ser mais fácil tentar provar que o limite não existe!
Passo 3
Já vimos que fazendo tá tudo ok com o limite, então vamos tentar por outros caminhos!
Digamos . Vamos ter
Usando o mesmo macete da letra (a) isso dá
Deu zero assim também, então por enquanto não provamos nada! Mas vamos continuar tentando :)
Passo 4
Vamos tentar agora com :
O que dá
Opa! Agora deu certo!
Com por exemplo, ou seja, , o limite da , e não o que seria se a função fosse contínua.
Portanto, a função não é contínua na origem!
Passo 5
(c)
Pra essa questão não vai ter muito mistério não! Queremos saber se é diferenciável na origem, mas já vimos que ela não é contínua nesse ponto. E temos, para um funç��o em algum ponto:
Logo:
Toda função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto, então a não sendo contínua na origem, acabou o problema: ela não também não é diferenciável na origem!
Observação: a poderia ser contínua mas não diferenciável!
Resposta
(a)
(b) Não.
(c) Não.